派遣先で３年以上働く方法ありますか？

派遣会社を通して、パートタイムで働いています。

8月1日に、受け入れ期間の制限を迎えるようなので（契約書のそのような記載があります）、7月末までの勤務のつもりで働いていました。
派遣先から、「3カ月休めばまた働けますよね？」と聞かれたのですが、とりあえず「詳しくは知らないので、営業に確認してみます」と答えました。
ちなみに、3年の間に１度、課は変わっています。

しかし、うろ覚えなのですが、課を変えて期間を延ばすことはできない。3カ月休んでもダメ。というようなことを聞いた記憶があります。

今の派遣先は、気に入っているのですが、直接雇用になるつもりはありません。
派遣社員だからと、軽いよそ者扱いが、私にとっては心地よく感じています。

そのため、派遣社員で、3年以上働ける方法があるのならば、教えてほしいのですが、派遣元を変更したりしても、意味はないのでしょうか？