周りへの仕事の振り方を教えてください

29歳独身OLのぽぽろんと申します。某金融機関で事務職をしています。現在社会人7年目です。
先日上司と面談がありました。そこで上司から、「ぽぽろんさんは、電話対応が丁寧で良い」「個別案件やクレーム対応の処理能力もOK」そして「課題を挙げるとすれば、仕事の振り方かな」と言われました。
「ぽぽろんさんは中堅の年次になってきているし、今はプレイヤーだけじゃなくて、周りに指示してどんどん仕事を振っていいんだよ。自分が身軽になることも考えて」と。
ありがたいお言葉なのですが、この「周りに仕事を振る」というのがどうしてもうまくできません。
自分では「他の人に頼むより、自分でやった方が早い」と思ってしまうのが原因と自覚しています。他の人に教える時間のことを考えると…と思うとつい億劫に感じてしまい、自分でやろうとしてしまいます。また、自分の担当業務は自分で責任持ってやりたい！と思い過ぎている気もします。
なので、最近は「私じゃなくてもいい仕事」は割り切って派遣社員の方にお願いしています。派遣社員の方は年齢ではずっと私より年上ですが、お願いしたことは気持ちよくやってくださいますし、私がバタバタしていると「手伝うよ？」と言ってくださるので、お言葉に甘えさせてもらっています。
また、わからないことや初めてのことに遭遇すると、色々なツールを活用して、一から解決したいと思ってしまいます。自分で調べて自分で解決できたら、次同様のことがあってもすぐに対応できるし、自分ができることを一つでも増やしたいと思っています。
自分の回りの人はいい人たちばかりなのに、どうしても頼れることができません。こんなこと頼んだら、相手は嫌な気持ちになるかな？とか考えてしまいます。
どうやったら自分がパンクする前にうまく周りに仕事を振れるのでしょうか？心持ちや相手への効果的なお願いの仕方など教えてください。