派遣の職に応募したい。

アラフォー 既婚 娘小学6年生1人いる、はけんこです。

私は今年の3月に 業務が超多忙で体を壊し、大手IT企業を退職しました。
その後、体調も落ち着き、派遣の仕事(事務系)を探していたのですが、年齢及び未経験のためか、応募は全滅でした。
ある派遣会社の担当の方が、その派遣会社でパートとして働かないかと誘って頂き、7月よりお世話になっています。
仕事は、事務系(派遣の仕事の応募の一次対応、Webへの求人広告掲載)がメインと言われ、ただその派遣の仕事がIT特価の部分とのことでした。
始めは、その通りの仕事でしたが、やはり単純作業であり、ほぼ午前中でその業務が終わってしまっていたので、社員の方に、それ以外の仕事も振られるようになりました。

結果、今では、営業、派遣スタッフさん登録時の面談、企業との募集案件に関する折衝、人選、スタッフの職場見学同行と、派遣会社で行われるほぼすべての工程をIT関連については任されるようになりました(社員の決済がいる契約以外全て)。
またグローバル化のプロジェクトの一員にもされています。

ただ給与は事務に毛が生えた程度です。
その中で、先日営業に行った企業先で、頂いたお仕事がすごく魅力的で、給与も条件も私が探していたもので、かつ、前企業での経験スキルが活かせるものに出会いました。

もともと、パートに入る際に、いい仕事があれば、それに応募していいよと言われていたので、社員さんに相談したら、即刻NGと言われました。
私がいないと、もうまわらないそうです。。。
でも、今回のお仕事は、めったに出てくることがないもので、今回を逃すと、当分でてこないとおもいます。

私は今の派遣会社にまだスタッフ登録はしたままなので、応募は物理的にはできます。
でも、紹介してもらえないと思います。

みなさん、このような場合どうされますか？
アドバイス頂きたく存じます