歯科治療を早く終わらせる方法

こんにちは。 ７月に留学で海外渡航を控えている者です。 ２週間ほど前にある歯医者で虫歯なしとの診断をもらいましたが、 その歯医者のチェック方法（レントゲンのみで判断）に不信感を感じ 別の歯医者に行ったところ、恥ずかしながら５本も虫歯が見つかってしまいました。 （いずれも軽微なもので簡単な治療で済むとの事ですが・・・。） 現職を６月一杯で退職し、７月に渡航予定でしたので、６月一杯で会社の健康保険が失効となります。 そのため、出来る限り治療を６月一杯までに終わらせたいのですが、 歯医者には「保険の縛りがあり、月に来院できるのは最大４回まで」と言われてしまいました。初回で虫歯の内の１本は治療してもらいましたが、残り４本を後３回で治療するのは難しいように感じます。 そこで質問ですが、 1治療を６月一杯で終了させたい場合、他の歯医者と掛持ちして治療する事は可能か。 2掛持ちが不可能な場合、６月末退職～離職票が届くまでの間に保険を任意継続 or 国民健康保険に切り替えて保険治療を継続する事は可能か。 この２点についてご教示いただければと幸いです。 現地用に加入した保険は歯科治療はカバーさせていないので、治療を終えてから渡航したいと思っています。 ちなみに、まだ航空券は買っていません。