家族へ彼氏を紹介することについて

タイトルのことで相談です。
私は専門学校1年生で、同い年で大学1年の彼氏がいます。付き合って3ヶ月くらいになります。
私は実家暮らしなのですが彼は下宿生なので、月に何度か泊まりに行ったりもしています。（母には、外泊は事前に連絡してさえいればOKと言われています）

彼は前々から「家族に挨拶しようか？」と言うのですが、私はあまり気が進みませんでした。
元々家族間で恋愛の話をしないし、家には厳格な祖母がおりますので、彼を連れてきたとしてもいい雰囲気にはならないだろうと察しはついていたからです。

そしてこの間、彼と一緒にいる時、祖母と出くわす場面がありました。
彼は祖母に挨拶を返したのですが祖母は彼のことを無視するような形で私に声を掛けました。
彼も薄々感じたようで、嫌な思いをさせてしまいました。
その後家に帰ると祖母から「男と出歩いてふしだらだ」のようなことを言われました。

こんなことがあった以上祖母に紹介するのはますます気が進みません。
けれど、彼のためにも母には紹介した方がいいかなと思い始めました。ただ、その場合どのようにあわせればよいのかわかりません。
アドバイスをお願いします。