退社する時の引き継ぎについて悩んでます

当方、40代前半のサラリーマンです。家庭の事情で3月いっぱいで勤めている会社を退社します。

退社するにあたり、自分が受け持っているいくつかの業務の引き継ぎをしなければならないのですが。

引き継ぎ相手となる上司に「お客様にいつごろ私が退社することを伝えましょうか」と伺いを立てたところ、
「31日（最終日です）の夜でいいんじゃない」と言われました。

ん？と思い、「でも、いきなりすぎませんか？」と返したところ、
「だってお前、例えば数日前に辞めます、って伝えたらどうなると思う？
お前たくさん仕事抱えてるんだから、絶え間なく仕事の電話が来るか、
引き継ぐ人は誰ですかとか聞かれるに決まってるだろう」と言われ…

私の感覚ではそれが当たり前だと思ったので、つい、「はい、そうなると思いますので、早めの報告がいいのかと」
と言ったところ、上司が怒り気味で
「お前は居なくなるからそれでいいんだろうが、引き継ぐ人間の身になって考えてみろ！」と
言われまして…。

上司は、私がたくさん仕事を抱えていると言いますが、
本来リーダーはその上司で、面倒な仕事をすぐ部下（私ほか多数）に投げ、
あとは知らぬ存ぜぬなので自然と部下が仕事を抱えることになっているのです。
なので、怒られるのも筋違いなんですが。

せめて引き継ぎをしたいと思って昨年末から何度も上司に時間を取ってほしいと伝えているのですが、
忙しいの一点張りで相手にしてくれません。

このままではお客様にも迷惑がかかると心配しています。
普通は、会社を辞めることになって、自分が抱えている仕事があるとして、
辞めることをお客様に伝えるのがそんな直前でいいのか？
どうするのがベターなのか悩んでいます。

第三者の目から見てのアドバイスをいただけないでしょうか。
よろしくお願いします。