仕事の見通し立てられなくてぐったり

今年度から事務方になり二ヶ月が立ちました。 担当する仕事もどうにか覚え始めたのですが、仕事の見通しが建てられなくてもう爆発しそうです。 社内の手続きを担当する部署で、申請を貰ってから偉い人の許可をもらったり期日（一か月に2度締切があり、すぎたら次の締切での手続きになります）までに書類の手配をお願いしたりするのが仕事ですが、申請も書類手配も相手方の締め切り破りが多すぎるのです。 上司は「どのくらいの締切破りまで許すかはまつりかさんが決めていいよ」と言うのですが、上司の上司やそのまた上司に1週間以上締切を破る迷惑野郎どもが泣きついて、「やってあげなよ」と言われて上司も私もやらざるを得なくなるのです。この二ヶ月でそういったことがもう片手の指では収まらなくなっています。 結局しわ寄せは私に来て毎月何度もデスマーチ、そして「デスマーチが終わってから何週間たっても書類が揃わない。書類が揃いさえすれば終わりだけど、揃わないから保管中」な状態の仕事が今日で20件を超えました。 しかもその締切破り野郎たちは勘違いな言動を繰り返します。「この日程で申請通らないと君も困るでしょ？（困りません、次の日程に回してほしい）」「（電話してきた第一声が）まつりかの声が聞きたくて電話しちゃった☆（率直に言って気持ち悪い）」 もう辞めたくてやめたくてしょうがないのですが、うまく仕事を回したいとも思っています。どうにかうまいことやる方法はありませんか。