職場のタイムカードが手書き

クリニックで医療事務員として勤務しています。
こちらに転職して約半年が経ちますが、毎月タイムカードを手書きしなければならずこのことに関して疑問があります。

給与は２０日締めで、毎月１３，４日頃に事務の先輩が全職員(２０人ほど)にタイムカードを配布します。
タイムカードへの記入事項は、氏名、出勤時間、退勤時間です。
回収するのは事務方ですが、最終的な計算は院長夫人が行っているようです。

私は当然、残業した時は定時以降の時間を退勤時間として記入するものだと思っていましたが、そうではなく定時に退勤した体で記入しなければならないようです。

事実、先輩方は２０日を待たずタイムカードを渡された日から２，３日以内に記入を済ませ事務方に渡しています。
つまり、未来の出勤日も記入して提出しているということです。

前の職場は、毎日出勤時と退勤時にタイムカードを機械に通して記録していたので、このようなやり方があることにとても驚きました。

何年も勤めている先輩は「残業時間を書いても給与に残業代がついたことはなかった、単に出勤日を把握したいだけなのでは？」と話しており、残業代がつかないことは諦めているようでした。

医療事務は職業上、毎月職場から定められた残業日が月に２日あり、その分はタイムカードに記入できますが、時間外に患者様がいらっしゃって止む終えず残業した分を書くことは暗黙のルールで記入しないという雰囲気です。
月によって偏りはありますが、平均的に毎月６時間は残業しています。

こういう職場はどこにでもあるのでしょうか？
半年働きましたがこれが毎月のことなのでだんだんと疑問が大きくなってきて、こちらに意見を求めた次第です。

どうか皆様のご意見をお聞かせください。