私の言動でママさんを不快にさせてしまいました。

私は子ども（幼児）がいる主婦です。 子どもと公園に行ったところ、同じくらいの年の子ども連れのお母さんがいました。 最初はブランコで隣同士でしたが、 その後私は別の遊具に移動しました。 すると程なくあとに、その親子も同じ遊具に移動しました。 私と子どもが遊具で遊んでたすぐ後ろに、 その子どもさんがいたので、その子どもさんに順番を譲ろうとして、私が 「どうぞ先に行ってください」 とその子どもさんとお母さんに言ったところ、そのお母さんが突然 「◯◯ちゃん（子どもさんの名前）、さっきじーっと見られて嫌な気持ちしたよね」 と言ったのです。 私は最初なんの事がわかりませんでしたが、 とりあえず急いで自分の子どもと共に、頭を下げてその場を離れました。 あとでよくよく考えてみると、最初にブランコをしていたときに、 私がその子どもさんの着ていた洋服のデザインが気になってしまい、じっと見てしまったのです。 またそのお子さんもキレイな顔立ちだったので見てしまっていた自覚はあります。 恐らくその時にそのお母さんは不快に感じたのだと思います。 その後そのお母さんとは同じ公園で毎日のように会いますが、私は避けています。 しかし、子どもが大きくなってきて、他の子どもと遊びたがるようになり、私の子どもがその子どもさんと遊びたそうにすることがあります。 私は今後、そのお母さんとどう付き合っていけばよいか分からず悩んでいます。 普通に笑顔で何事も無かったかのように話すのか、 できるだけ避けるのか… 何かアドバイスを頂けたらと思います。 よろしくお願いします。