数学：格子状の点

レス19

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だめな家庭教師

2004年08月18日 17:42

話題

家庭教師をしているのですがどうしても一問だけ答えられない問題があって困っています。問題：６ｘ６の格子状に点P（1x4）と点Q(6x2)があります。この両点それぞれから共通の距離になる点を求めなさい。なお答えは2点以上ある。６ｘ６に収まらないところでは見つけられるのですが直接格子状に書き込むようになっているので答えがわかりません。どうしても十字以外のところになってしまうんです。数学の得意な方、回答と解き方を教えてください。

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ここでの距離の定義は?..

さとふみ

2004年08月19日 19:08

ここの格子で距離をどう定義するのでしょうか。もし、距離を、たどる升目の数として定めたとすると、この格子点には問題の条件を満たすものはないと思います。

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多分ミスプリ１

通りすがりの

2004年08月20日 13:34

お盆休みの暇つぶしにちょっと考えてみたんですが、 (1,4)と(6,2)の双方から等距離にある格子点を(x,y)と置くと、 (x-1)^2 + (y-4)^2 = (x-6)^2 + (y-2)^2 という方程式が成り立ちます。これを展開すると、 10x + 4y = 23 となります。この式を満たす格子点(x,y)は存在しないと思うんですが、いかがでしょう？（私の計算違いかもしれないので検算してください）トピ主さんは6x6の外でなら見つかったと書かれていますが、具体的にどの点になりますか？

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多分ミスプリ２

通りすがりの

2004年08月20日 13:38

で、与えられた点が(6,2)ではなく(5,2)だった、（ミスプリだった）と仮定すると、同様の計算を行うことで、 2x - y = 3 の関係式が導かれます。この関係式を満たす格子点は (x,y)=(2,1) (3,3) (4,5) の３点があります。（２点以上なので３点で問題ない）私の説が正しければ、これが正解かとおもいます。

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トピ主です

だめな家庭教師

2004年08月20日 20:34

問題自体はイギリスのGCSEというもので、日本でいう高校1～2年生ぐらいで受けるものです。さとふみさん＞ただ問題には共通な距離（equidistance)ということしか書いてありません。多分両点から同じ距離にある格子の点ということだと思うのですが・・・・。引き続き解った方がいましたらお願いします

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垂直２等分線

ネクタル

2004年08月20日 21:46

直接格子に書き込むとすると、多分定規とコンパスを使って解くんじゃないかと思います。要は、線分PQの垂直２等分線を書き入れれば、それが答えとなる点の集合になります。あとは、格子と交わる所に点を打っていけばいいのかな。その辺は問題の趣旨がわからないのでなんともいえませんが。ただ、答えとして求められるのが「6*6以内で、整数で座標を表せる点」とすると、それを満たす点は無いですね。もしその条件の解答が求められてるのなら、問題のほうが間違ってるような気が。

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待った！「距離」とは何のことですか？

成歩堂龍一

2004年08月20日 23:06

■「直線的な距離」と考える場合この場合、点Pと点Qの距離が等しい点は、（格子をx-y空間とすると）直線y = 5/2 x + 23/4 上に存在します。この直線は、xとyが互いに整数である組み合わせは存在しないため、この問題に解はありません。 ■「格子をたどる道のりの長さ」と考える場合点Pと点Qが、同時に1ずつ動いていった時に、ぶつかることができる点（距離が0になる点）が、この問題の解となる点であると考えられます。点Pと点Qが、同時に1ずつ動いた場合、2つの点の距離は、2近づくか2離れるか、もしくは変わらないかの3通りしかありません。つまり、2点の距離は必ず偶数（+2,0,-2）だけ変化することになります。ところが、点Pと点Qは、最初7離れています。この場合、どう点を動かしても2点の距離が0になることはありません。よって、この問題に解はありません。格子の外でも正解は存在しないと思うのですが、どうでしょう？

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学年と出題者の意図

2004年08月20日 23:07

対象学年くらいは書いて頂かないと、出題者の意図が推測できません。点Ｐと点Ｑそれぞれからの距離が等しい点は、線分P-Qの垂直二等分線上に存在しますよね。でも、この問題では、垂直二等分線と重なる格子点が無い、と。コンパスを使って二等辺三角形が描けるくらいの学年ならば、垂直二等分線を描かせて格子線との交点（格子点じゃなくて良い）を答えたので良いのでは？もっと下の学年で、升目を数えるくらいのレベルならば、単に出題が間違っているだけのような気もしますが。

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例題は？

匿名おとこ

2004年08月20日 23:12

両点からの距離が同じ点を探すということですよね。距離の定義，もっと厳密に言えば座標の取り方（まあ、これは左の一番下を１，１とするのでしょうが）が明示されないと解けないですよ。仮に直線距離とすると、ピタゴラスの定理から方程式を立てればいいのですが・・・ (x-1)^2 + (y-4)^2 = (x-6)^2 + (y-2)^2 10x - 4y = 23 x,yともに整数の点は(1,1)-(6,6)にはありません。でも、わざわざ６×６と断っているからには、直線距離ではないですよね・・・たぶん。こういうモノは、例題があると非常に参考になるのですが。

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交差点以外の場所でもいいんじゃない？

iike

2004年08月20日 23:15

数学の問題なら、「距離」というからには直線距離ですよね。「十字の場所」つまり罫の交差点には条件を満たす点はありませんよね。それ以外でいいなら山ほど。 (2.3,0) (2.7,1) (3.1,2) (3.5,3)←中間点 (3.9,4) (4.3,5) (4.9,6) 横罫との交差点は以上ですね。あと縦罫との交差点があるはずですがめんどくさいんで省略

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たぶん多くの方がお答えだと思いますが・・・

げげっせん

2004年08月21日 00:14

格子が直交かつタテ・ヨコ比１：１であるとすると、そのような点は存在しませんね……。Ｐ，Ｑから共通の距離という条件を満たす点を（Ｘ，Ｙ）とすると、（Ｘ－１）２乗＋（Ｙ－４）２乗＝（Ｘ－６）２乗＋（Ｙ－２）２乗という関係が成立しています。この式を整理すると、１０Ｘ－４Ｙ－２３＝０さらにＹ＝（１０Ｘ－２３）／４・・・式１　となります。これを満たす整数Ｘ，Ｙがあるかというと、６ｘ６の格子の上はおろか、地平線の先まで探しても存在しません。なぜなら、Ｘがどんな整数であっても、式１　の右辺の分子（１０Ｘ－２３）は、奇数になるからです。奇数／４は、絶対に整数になりえません。

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格子の外にもないのでは？

ヒロウカミ

2004年08月21日 11:25

「６×６の格子状」とはxy座標で考えた場合、 (0,0),(5,0),(5,-5),(0,-5)の４点の内側の正方形のことでよいのでしょうか？各点ですが、点Ｐは(0,-3)、点Ｑは(5,-1)にあるということでよろしいでしょうか？仮に上記の通りだとすると点ＰＱを結ぶ線分は y=(2/5)x-3 となり、点ＰＱから等しい距離にある線分は点ＰＱの中点を直角に交わるので y=-(5/2)x+4.25 両辺を４倍して 4y=-10x+17 となります。４の倍数で一の位が７になるものはありませんから、この式には整数解がありません。トピ主さんは十字以外のところになる、とおっしゃっていますので、私の問題の理解が間違っているのかもしれません。できれば問題にもう少し具体的な補足をしていただけないでしょうか。

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整数解は有りませんね

シリコンバレー

2004年08月21日 12:52

問題の意味が分かりにくいのですが、仮に点P(1,4)及び点Q(6,2)から点R(x,y)への距離が等しい場合、x,yの１から６までの整数解を求めよ、と言う意味だとします。すると： PR=QR -> (x-1)^2+(y-4)^2=(x-6)^2+(y-2)^2 が成り立ちますね。（^2は二乗を表します）（距離は左辺右辺共その平方根ですが無くても同じなので省いてあります。中学生でも多分わかるピタゴラスの定理からですね。）これを整理すると： 10x-4y=23 と成ります。かりにx,y共整数と仮定します。そして左辺を見ると整数に１０を掛けると偶数、整数に４を掛けるとこれも偶数ですね。偶数から偶数を引くとやはり偶数にしか成りませんね。ところが右辺は奇数ですから成り立ちません。つまり最初の仮定が間違っていた事に成ります。と言う訳でx,y共に整数である解は１から６以内にも以外にも存在しません。すると「回答は2点以上有る」と言う問題に反しますから、私の問題解釈に問題が有ったと言う事でしょうか？

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おやまあ・・・

匿名おとこ

2004年08月22日 22:46

イギリスですか。問題の前提条件、定義と、問題文を全文英語で書かれているとおり引用されないと、まず正しい答えは差し上げられないと思います。もっとも、私は英語が苦手ですので他の英語がお得意で優しい方の回答を待つことになると思いますけど。どなたか回答しているように高さを考慮していいとなればまったく違った話になりますし。

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原文はどうだったんでしょう？

もか夫

2004年08月23日 20:33

皆さんが書かれている通り、トピ主さんの問題解釈では解が存在しませんので、考えられるとすれば　・解は格子点上とは限らない　・問題文の何かを読み落としている　・数学用語に別訳があるくらいでしょうか。公開しても差し支えないのであれば、試しに問題文のオリジナルを載せてみてはいかがでしょう？

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答えかも

がー

2004年09月05日 00:51

　トピ主さんの出題を座標で示したとき，Ｐ（１，４）とＱ（６，２）から等しい距離の点と認識したとしますが、その際の解答は（３，１）と（４，６）の２点でいかがでしょうか。

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がーさん

2004年09月08日 11:26

>　トピ主さんの出題を座標で示したとき，Ｐ（１，４）と > Ｑ（６，２）から等しい距離の点と認識したとします > が、その際の解答は（３，１）と（４，６）の２点でい > かがでしょうか。Ｑが（６，２）ではなく（６，３）だったならそれで正解だと思います。

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がーさん

あは

2004年09月08日 18:41

２つめの点が(6,2)ではなく(6,3)ならそれが答えですね。

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無限大のベクトルノーム

パンゲア

2004年09月09日 13:47

ベクトルのノーム（ｎｏｒｍ）が１の場合（＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜）と２の場合（＝（ｘ＾２＋ｙ＾２）＾０．５）どちらも、整数解をもたらさないということですね。それなら、これも比較的よく言及される無限大のベクトルノーム（＝ｍａｘ（｜ｘ｜、｜ｙ｜））ならどうでしょうか。これなら、点（３，１）や（４，５）をはじめとして、数個存在しそうですね。ベクトルのノームは、初歩の線形代数のトピックでもあり、高校生レベルでも可能な設問ではないかと思います。一般的には、“距離”とは場に依存する量であると考えると、いろいろな問題解釈が可能だと思います。　　おもい付きですが、情報理論やコンピュータサイエンスに出てくる、“ハミング距離”で探すのも一興かもしれません。どうでしょうか。

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質問するなら手を抜かないで。

みと

2004年09月09日 15:47

問題文を、まるごと書き写すくらいのことはしたらいかがでしょうか。また、点P（1x4）とありますが、それはどういう意味ですか？座標のことなら「点P(1,4)」と書きませんか？そもそも、この問題における座標系はどうなっているのでしょう？一般的なx-y座標ですか？だとすれば、「6×6の格子」というのは「どこに」あるのでしょう？または、この格子だけの、閉じた座標系でしょうか？であれば、座標のとりかたが「1から始まっている」可能性がありますよね。そして、原点が左下ではないかもしれません。そのようなことがありますので、質問の原文が必要だと思います。

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