別居中（世帯別）の場合の出生届について

こんばんは。
８月に出産予定です。
よくわからないことがあるので質問します。
現在、仕事の関係上　夫と別居で世帯も別です。
出産後もそのままでいたいのですが、出生届とか子供の住民票とかは
どうなるのですか？どっちに入るのか選べるとか？
子供の住民票はどちらに入ってもいいと思ってます。

ついでに、出産一時金は私の国民健康保険からになるのでしょうか？
夫の健康保険からなのでしょうか？

わかる方、よろしくお願いします！！