二重国籍の子供の名前

国際結婚で夫の国に移り住んで10年、子供は２人です。
子供の名前について「後でああしたらよかったかも」と考えるのは、よくあることだとは思います。

私は、例えば「健（ケン）」とか日本でも外国語でも通じる名前に憧れて、夫の両親が考えてくれた名前を読み方もそのままで日本の戸籍に登録しました。２冊のパスポートには同じ名前が記入されています。

ところが、子供達が夫の国で夫の文化や母国語に馴染んでくるにしたがって「いかにも日本人らしい名前（健太郎とか）をつけたら良かった…。」
と最近になって考えるようになったのです。
夫の国が嫌なのではありません。10年も夫の国に住んで、日本がまさしく母国のように懐かしくてたまらないから、このようなことを考えるのだと思います。

日本でも戸籍名があっても普段は通称名を使っている人も多いと聞きますし、夫の漢字圏の国なので、名前を２カ国で読んでも違和感はないと思います。戸籍の名前を読み方変更しようとまでは考えてはいませんが、
「日本名はね、○○なのよ。」と、子供に言っても良いと思いますか？
今さらながらですが、ご意見を聞かせてください。