夫の祖母のお葬式に、両親はどうすべき？

この度、夫の祖母（義母方）が亡くなりました。
私と夫はお葬式に出席します。
（お通夜は、孫は参加しなくていいということでした）
その際、遠方に住む私の実家の両親に連絡し、香典をお願いしました。
でも母は「義父方なら出すが、義母方だし、お祖母さんと面識もないし
香典を渡す必要はないのでは？」と言いました。
（私たち夫婦は、婚姻届けの提出だけを済ませおり、結婚式はまだしていません）
また、私の姉も、同じようにご主人のお祖母さんが亡くなった時、
姉の義母は「（私）の実家に知らせなくていい」と言い、
事後報告のみで、香典をしなかったといいます。
でも、主人の兄嫁のご両親は、香典をお送りすると聞いています。
それに、私の友人が同じ状況で、両親が香典を渡さなかったために、
あとから、義母ともめたケースも知っています。
そこで、「私が代理で渡すから」ということで、母も納得しました。
私の父は今、体調が悪く、気難しく、もめたくなかったので、
話さないことにしました。
母の言い分もわかりますが、冷たいと思います。
みなさんは、どうされましたか？？