母乳分泌過多。でも頻回授乳ができない

2ヶ月になる娘がいます。母乳不足で悩んでる人には必ず「贅沢な悩み」だと言われますが…
1ヶ月にはいった頃から母乳の出が良くなって、ミルクを足さなくてもOKになりました。ところが、どんどん母乳が出るようになってしまい、パンパンに張った状態で痛かったり、しこりが出来たりとトラブルを繰り返すようになってしまいました。

先日はついに右胸がカチンコチンになって身動きしても痛い状態で、あまりにつらく助産師さんにマッサージしてもらいました。
完治までには時間がかかるということで、じゃがいもシップや葛根湯などで改善を試みています。
中でも最善の治療法として「赤ちゃんに頻繁に吸わせること」とあります。実はこれが私にとって一番の問題で・・・
娘はいったん寝るとなかなか目覚めずぐっすりと眠ってしまうのです。
そのせいで授乳間隔があいてトラブルに結びつく、というのはわかっています。
でも、ぐっすりと眠っていてオムツをかえても抱っこをしてもくすぐってもぺちぺちと叩いても起きてくれず、無理やりにくわえさすと自然反応で少しくちゅくちゅはしますが、ごくごく飲んではくれません。
助産師さんにその旨を相談すると「がんばって起こして飲ますしかないよ」と言われてしまいました。
夜中やお昼寝中にすやすや眠る娘の顔を見て、私の体質がこうでなかったら安眠を妨げることもなかったのにとボロボロ涙が出てきます。
でもおっぱいもパンパンで苦しいし…
同じような経験をお持ちの方、いらっしゃいませんか？
何かいいアイデアはありませんか？
夜だけでも搾乳するのはどうかとも思っていますが（助産師さんには反対されました）どれくらいの量・時間すればいいのかわかりません。
アドバイスいただけないでしょうか。