帽子のマナー教えてください

こんにちは。
わたしは来期から子供会の会長をすることになっていて、先月の子供会主催の秋祭りに今期の会長さん（女性）と来賓の方々に挨拶して回りました。
その際、一緒にいた今期の会長さん（短髪）はかぶっていたキャップを脱いでお辞儀をしておられました。
わたしは「ハット」タイプの日よけ帽子をかぶっていたのですが、帽子の後ろの隙間から結んだ髪の毛を出していたので、いちいち帽子をとると髪がボサボサになって、かえって失礼なのではという頭になっていました。

プロ野球のヒーローインタビューやファンに挨拶する場合などでも、キャップは脱いで挨拶しているので、挨拶するときは帽子は脱ぐものなのだろうか、それともキャップだから脱ぐほうがいいのだろうか、とよくわかりません。
帽子のマナーについて検索したところ、女性の場合は帽子も含めてファッションの場合は室内でもかぶったままでもいいとか、改まった場面でのマナーは見つかったのですが、日常のちょっとした場面でのマナーは見当たりませんでした。
日よけの帽子は、目上の人に挨拶する場合脱いだほうがいいのでしょうか？