客先女性へのアプローチについて

初めて相談させて頂きます。乱文と思いますがよろしくお願いします。

当方37歳男なのですが、久しぶりに気になる女性(34歳)が現れました。
正確には7～8年位の仕事付き合いですが、ここ最近気になりだしました。

相談になりますが単刀直入に述べますと、アプローチの仕方に悩んでおります。

私が気にしておりますのは、彼女は客先の女性なのですが、その顧客は私の一番のお得意様であり、会社としても売り上げの約1割強を占めるほどの重要顧客という点です。
彼女とは月二回位で顔を合わせる機会もあり、会社の先輩後輩もある程度は親しくしてます。
何とかアプローチしたいのですが、私が超がつくほど奥手なせいもあり、断わられたりした場合等に今後の付き合い方(仕事など)に支障をきたす恐れがあり非常に悩んでおります。
今までの数少ない恋愛では自分なりに「好きになったらなりふり構わず」でしたが、今回は気を使います。

実は新年会シーズンに、会社の同僚が「新年会でもしましょうよ」と声をかけたそうですが、その際に「じゃ、ホワイトさんも来るならね」と言っていたそうです。(結局新年会は流れました)
会社で彼女と一番多く接しているのは私ですし社交辞令とも受け取れるのですが、これってある程度望みはあるのでしょうか。

ちなみに彼女とは、彼女のデスクや休憩室でお茶しながら仕事の話や世間話をしたり、会社メールで業務用件＋雑談を多少交わす程度。
彼女は独身ではありますが、彼氏の存在は不明です。
彼女は雰囲気がよく柔らかい感じの女性で、彼女の同僚からも好かれているようです。

支離滅裂ですが、同様の経験をされた方がいらっしゃれば、アドバイスや経験談等を頂けるとうれしいです。
よろしくお願いします。

最後まで読んで頂き有難うございました。