プライドの高い後輩への接し方について

地方の小さな職場に勤めている３０代半ばの者です。
私は東京生まれ・東京育ちですが、体を壊したため、
親の出身地である現在の土地へ転居してきました。

数か月前、２０代半ばの女性が入社してきました。
彼女は近県の４年制大学を卒業し、数年他の職場を経験してから当社に転職してきたようです。

大卒者はあまりいない地域のためか、
「自分は優秀だ」と半ば冗談交じりですが口にしています。

しかし、電話の応対が雑だったり、途中まで手を付けた仕事をそのままにしてしまったりなど、気になる点が多々あります。

注意をしたら気に障ったようで、
「○○さん（私）は口うるさい」と他の社員に相談しているところを聞いてしまいました。

それ以来注意はしないようにしているのですが、
彼女のフォローをすることも度々あるので、
改善してほしい所はうまく伝えたいのですが、
どのようにしたらよいでしょうか。

ちなみに、私は名前を聞けばたいていの人が知っている大学の出身です。
（周囲から浮いてしまうので、公言していません）