小学３年生の息子の友達関係

小学３年生の息子がいますが、なかなか親しい友達ができないようなので心配しています。クラス替えをして２か月半なのでまだこれから。。なのかもしれませんが、休み時間なども一人で図書室に行ったり、校庭を散歩したりしているみたいです。誰かから誘われれば鬼ごっこをしたりするみたいですが、自分から誘ったりしないみたいです。本人も一人で休み時間を過ごすのを全然気にしていないみたいなので、こちらもいつになったら友達ができるのか心配です。放課後も家で２歳年下の弟を遊んでいます。偏食もあり、（だんだんよくはなってきているのですが）はしの使い方もあまり上手ではありません。アスペルガー症候群というのを聞いたことがあるのですが、もしかしたらそれに当てはまるのかな、と思ったりもします。病院で診断してもらえば今の状態が改善されるのであれば病院に相談したほうがいいのでしょうか？と悩んでます。