同時入社の張り合う中年女性

当方20代後半独身女性です。
今年転職をし小さな物作りの会社の事務をしております。
一緒に入社した中年女性についてです。
前任者の定年退職を機に後任として採用されたのですが、引き継ぎ期間から中年女性は私の言うことに何かと気に入らない態度をしたり反発をされていました。
前任者に相談したところ、前任者曰く、私は今の会社で一番年齢も若い事、中年女性より仕事を頼みやすい雰囲気を持っていること、
事務スキルも中年女性より長けていることで、張り合っているのだと言われました。
(事務スキルは私自身スクールに通ったりしてパソコンスキルを磨いたり勤めていた会社でも自分なりに努力をして培ったものです。)
正直私の目から見ても、中年女性の事務経験が本当にあるのか疑問に感じることが多々あります。

前任者も定年退職し、最近の不景気の影響で仕事も少なく、経営者側からも取引先からの仕事の少なさをよく聞かされ、我々事務方も危機感を募らせています。
中年女性も、危機感を感じているのか、今月に入ってから私が時折気になっていたところを時間を見つけて掃除していたことを真似て掃除をしたり、お茶を入れる通例のない会社でしたが冷え込みも厳しくなっていたので、私が事務所の社員へ温かいお茶を出し始めると真似をされたりしました。
ついには先日、私が上席から頼まれていた仕事で、先方に上手く伝わらず正しく納品されなかった物について、その日は親類の通夜へ行くため時間もなかったので、上席から「明日でいいから」と言われたので誤納された物などデスクにしまって置いたものを上席の指示もないのに勝手に漁られ、再手配をされました。
正直、そこまでして自分の株をあげたいのか？と思うのと同時にこの先どのように対処したらいいのかよいアドバイスを頂きたいです。
文字数制限があるようでわかり辛い説明で申し訳ありません。