入社日変更願いは可能でしょうか？

中途採用ですが、中小企業（50人ほど）の品質管理部門に内定を頂きました。 まだ内定通知書が送られて着ただけで、何月何日から入社して欲しいという記述はありませんし、電話連絡もありません。 休み明けに私の方から内定を頂いたことを改めて電話しようと思っています。 最終面接の中では、「いつから入社可能ですか？」という問いに「現職とも相談が可能ですが、早くて2月位から入社が可能です。」と口頭で応えてしまいました。 自分も人生なので強引に現職を退社する考えも少しありましたし、そもそも誰かに今の仕事を押し付けることになるので、キレイに退社するのは不可能かな思っているところもあったのでその時、そう応えてしまったと思います。 実際、現職の私の仕事のスケジュールを確認すると2月までスケジュールが引いてあるので、2月までに退社して入社できるか微妙でした。 無理やり現職を退社すれば、2月に転職先に入社可能かもしれませんが、やはり上司と引継ぎ等をちゃんと話し合って、余裕を持った上での円満退社が良いかなと思ってきました。 そこで質問ですが、最終面接時に話した入社日を変更された方はいらっしゃいますか？ 転職先の入社日を変更したら、その転職先でも迷惑掛かったり、入社後の信用も落ちたり、内定取り消しになったりすることもあると思ってしまい、心配しております。