隣の敷地からはみ出ている枝は、我が家で費用負担するの？

トピをお読み頂きありがとうございます。長文になります。 我が家では、最近土地を購入し家を新築中なのですが、隣の敷地の木の枝が4メーター道路も越えて我が家の敷地まで伸びています。隣の敷地の方は、不動産屋さんから聞いたところ、かなり遠方に住んでいてほったらかしの状態のようで・・・。ただ、このままでは危険なこともあるので、不動産屋さんからお隣の方の住所をお聞きして、剪定させていただいてもいいかどうか、写真も同封してお手紙をだしたのです。その返事が先日とどいたのですが、その内容に疑問を感じたのです。お返事をくれた方は土地所有者の次男の方で、木の伐採や処分費用を一切請求しないことを条件に許可します。それを文書に署名して返事をください。ということだったのです。そこが疑問なのですが、所有する敷地の枝が近隣に迷惑をかけている場合、所有者が責任をもって管理するのは、法律的に当たり前のことではないのでしょうか？今回相手の要求を受け入れてしまうと、この先ずっと我が家で費用を負担しつづけなくてはいけなくなりそうで。いいアドバイスをよろしくお願いします。