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『ｅ』ってなんだけ？

レス37
（トピ主 0 ）
041
まっくら
話題
高校の数学なんかでｅていうのが出てきた記憶があるのですが、何か特別な数ということは覚えていますがどういう風に特別なんでしたっけ？2.7くらいでしたよねぇ。あの辺で数学挫折しました。丸太（ｌｏｇ）の辺で。
支離滅裂ですみません。

トピ内ID：8007425233

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えっと…、

041
ももりんご
”自然対数”だと思いますよ。 私もLogは苦手なのでその先はネットなどで調べてください。 確か高圧線（電線）のたるみ等を計算するときに使ったかと思います。 ボケネタで言えば”えっ！”ですが、↑真面目に答えてみました（笑

トピ内ID：2372162574

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自然対数の底になる無理数です

041
80歳の女性
対数には普通2種類あります。底(ベース)が １０ の対数は普通 log で現されますが、ベースが無理数の e=２．７１８２・・・ の対数は、ln で表記します。これは、natural logarithm (自然対数）の略です。 この e は、数学や物理学や、電気工学など、色々な自然界の現象を分析する時に、嫌でもお目にかかる数値なので、この名があります。e に比べると、10をベースにした対数、 log、は、高校以後お目にかかった事がありません。

トピ内ID：1585017132

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ネイピア数

😀
naosuke
超越数であるネイピア数あるいはオイラー数と呼ばれる値を表す記号です。 値は、2.718281828459045．．と続きます。 一般には、自然対数の底と呼ぶ事が多いですね。 ちなみにオイラーは、このeを当てはめる事を定義したので、オイラー数とも呼ばれています。 どうでも良い話ですが、大学の頃、机に「おいらはオイラー」と言うベタな落書きが有った事を 思い出してしまいました。では～。

トピ内ID：1828558789

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懐かしいです

041
とくめい
主さん、回答じゃなくてごめんなさい。 log やらe はネットで調べれば出てくるし、他の方の回答に お任せします。 わたしは微積分で数学挫折しました。 サインコサインタンジェントって感じでカタカナでしか書けません。 で、もちろん３年次には文系クラスに入りましたよ。 懐かしくて涙がでます。（笑）

トピ内ID：3540698479

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定義としては…

041
名ばかり臨床検査技師
lim(1+1/x)^x x→∞ の極限値として与えられる数で，この極限値をeで表しております．それで，この値が e = 2.718281828459041… になるというわけです． 　このeは，自然現象を数式として記述する際に必ずと言ってよいほど出現する数値で，これを底（てい）とする対数を特に自然対数と称しております． 　eについては， 　　　(ln x)' = 1/x （自然対数関数の微分は分数関数） 　　 (e^x)' = e^x　（eを底とする指数関数の微分は不変） という非常に有難い性質があり，これが微分積分の計算上の大きな助けになっています．更に，複素数z = a + i*b (a,bは実数，iは虚数単位）に関して， 　z = r* e^(i*θ) (r = (a^2+b^2)^0.5, tanθ = b/a) のような場面にも表れ，これを複素数の極形式表示と称しております．

トピ内ID：1493016893

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自然対数の底

041
部外者
このトピはパソコンで書いていますか。 其れならば、簡単に調べられますよ。 「e」は「自然対数の底」です。 別の云い方では、オイラー数又はネイピア数です。 仰る通り対数の計算で用いられますが、 実際にこの数字を使って計算する事はまず有りませんね。 具体的な数学式はここには書けませんが、 e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352・・・です。

トピ内ID：6079957071

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ネイピア数

041
スタルカ
オイラー数とも呼ばれます。 オイラー(Euler)さんがeという文字を使い始めたそうです。自分の頭文字ですかね？ 特別というのが何を指すのかはよく分かりませんが、高校の微積で、e^x(eのx乗)の1階微分がe^xになるということは学習しますね。 あと、(1+1/n)^n (n→∞)の極限としてeが得られるというのは、高校の時に学習しました。 あとは得意な方のレスを、トピ主さんと一緒に待ちたいと思います。

トピ内ID：8382807639

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自然対数の「底」かな

041
忘れかけた
　間違っているかもしれませんが（だったらレスするなよ、とは言わないでください）、表題のとおりです。 　通常は「常用対数」を使い、底は「１０」です。 　複雑な対数計算のときは自然対数の底（つまり“e”）を使い、最後に数値を求めるときに常用対数（底は“１０”）に変換して答えを出すのです。

トピ内ID：7321951172

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定数

041
ss
ネイピア数

トピ内ID：8344890756

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追加です

041
名ばかり臨床検査技師
　関数を無限級数近似する手法(Taylor展開）により， 　　　e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/(3!) + … + x^n/(n!) + … と表すことができます．ここでx = 1とすると 　　　e = 2 + 1/2 + 1/(3!) + … + 1/(n!) + … となり，本来の定義とは別な形で「e」を表現できる事になります． 　また，xの代わりにi*x (iは虚数単位)とすると， 　　　e^(ix) = 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) - … 　　　　　　　　　　+ i*{x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - … } となりますが，この式は結局， 　　　e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x) なる関係式に帰着し，これを「Eulerの公式」と呼んでおります．　 　ところで，　 >確か高圧線（電線）のたるみ等を計算するときに >使ったかと思います。 ですが，この式は懸垂線と呼ばれ， 　　　y = {e^x + e^(-x)}/2 で定義されます．

トピ内ID：1493016893

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eの「活用例」

041
名ばかり臨床検査技師
　例えば「放射性物質の崩壊速度は，残存する物質量に比例する」なる関係が知られていますが，これは数式的には， 　　　dx/dt= -k*x　 　　（xは放射性物質量，tは時間，kは崩壊定数） と表わされ，ここから， 　　　dx/x = -k*dt →　ln(x) = -k*t + c　(cは任意定数) 　　　x = e^(-k*t + c) = A * e^(-k*t) (A = e^c) (Aはt=0の時のxの値で，初期値） という関係式（放射性物質は時間と共に指数関数的に減少する）が導出されます． 　尚，ここでt=ln2/kとすると，x=A/2となり，このtの値を当該放射性物質の半減期と呼んでおります．

トピ内ID：1493016893

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ネイピア数

🐤
元・鬼太郎ファン
ネイピア数ですね。 私はたまたま工業高校・電子工学科卒業後、電気・通信系に就職しましたから現在(57歳)でも日常使いますけれど、業種によっては学生時代以降はほとんど使わないでしょうね。 私が従事していた職業でも日常使うといっても、詳細な数学のことは忘れてしまいます。必要ならば「数学ハンドブック」などで確認すればいいわけです。 この［ｅ］は、電気工学ではベクトルにも使います。 虚数単位の[i]と、円周率の[π]を使うと不思議な数式になり、これを応用すると電気工学、通信工学では非常に便利なんです。(もっとも理解するまでは大変でしたが) 私が新入社員のころはこれを計算尺を使って回線設計したものでしたけれど、現代なら関数電卓や表計算ソフトならばグラフも簡易に作図できてかえって難解な数式の理論を忘れてしまい勝ちです。 どんな学問でも最初は詳しく学習しますけれど、あとは実務に就いてしまえばそれを道具として使うわけでして、たとえば自動車の車体の構造力学を知らなくても運転できるのと似ています。

トピ内ID：3845704655

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物理学的には

😉
よしお
数学的には他の方々が仰る通り。 e^xをxで何回微分しても形が変わらないとか、オイラーの公式とか。 e^{ikx}が（拡張版）正規直行基底を張るというのも重要ですね。 物理学的には、基礎的な自然現象で頻繁に出て来る数です。円周率πの次ぐらいに良く出て来るかも。 本当は違うんですが、exponentialと呼ぶことが多いです。指数関数は全てeで書けますからね。 身近なところでは振動現象。「通常」の波動は全てe^{ix}の実数冪の積分／和で書けます（上の正規直行基底と同義、いわゆるフーリエ展開／級数）。 誕生直後及び現在の宇宙膨張は概ねe^{Ht}という数式で表せます。Hがハッブル・パラメータ、tが時刻。 インフレーションです。 付言しておくと、10を底とする常用対数は「その数が10の何乗になっているか」を表すので、あくまで人間の都合です。 自然はむしろeをfavorしています。10にはほぼ意味がない。

トピ内ID：8735434747

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こんな例も

041
名ばかり臨床検査技師
　時に出てくるかと思われますが，或る確率変数xが正規分布に従うという場合，その確率密度関数f(x)が， 　　　　f(x)=1/{(2*π*σ^2)^0.5} * e^{-(x-m)^2/(2*σ^2)} 　　　　(mはxの平均値，σはxの標準偏差) で表わされます．特に「m=0，σ=1」の場合を標準正規分布と称しております． 　このように，eという数は相当に広範な分野に出没するという次第です．これも，この数が定義された経緯，及びそれが持つ性質（特殊性）の所以と言えるでありましょう．

トピ内ID：1493016893

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小学生にはどう説明しますか

041
逆コナン
みなさん、優秀でいらっしゃるのですね。 すみませんが、式や専門用語などを使わないで説明すると『e』ってなんでしょうか。 たとえば、pHなら 酸性アルカリ性の度合いで数字が大きいほどアルカリ性が強く小さいほど酸性が強い、といえば イオンもlogも知らなくても、納得できると思うのです。厳密な定義とは違うかもしれませんが。 小学生でもなんとなくイメージがつかめるような説明を、お願いします。

トピ内ID：1230766253

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彼方に行ってしまった

041
まっくら
難しくてよくわからないですー。円周は直径のπ倍みたく目に見えてわかりやすけりゃいいんだけど。 なんかいろんな自然現象で見かける。たしかなんかの微分が(１／ｘ？）ｅになるんでしたよね、だからたくさん出てくるとおぼろげな記憶が。 数学とかできる方って頭の構造どうなってんの？？？？？

トピ内ID：5669965628

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可視化

041
makura
確かにπだと円周は直径の何倍かでわかるんだけど、ｅって？？ どこがありがたいかわかんない。 三角関数と関係ある？ なんだかの微分（１／ｘ？）で突然出てきてびっくり。

トピ内ID：5669965628

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敢えて言えば…

041
名ばかり臨床検査技師
>小学生にはどう説明しますか 　何のためにそのような事が必要なのか分かりませんが，強いてとなれば， 　１）．1×2，1×2×3，1×2×3×4，…，1×2×3×4×…×100×…， 　　　　のように，1から或る整数までの全ての整数の積を作る． 　２）．上で作った整数の積の逆数に相当する分数を作る． 　　　　つまり，1/(1×2)，1/(1×2×3)，… 　３）．2に，上で作った分数をどんどん足していくと，やがてその数は 　　　　2.7182818284590…のような値に近付く．この数をアルファベット 　　　　の「e」で表わす． 　４）．eという数は，円周率の3.14…と同じで，終わりのない数になる． 　　　　これは高校から上の学校で勉強する時非常に大事な数だ． のような事でしょうか？ 　そもそも，eは「指数・対数関数の微分」という演算に際して初めて出てくる数値の筈で，従って「円周率は円の周の長さ÷直径」の如き単純な説明は不可能です．寧ろ小学生に「実数」「関数」「微分・積分」を分かって貰う方が早道と思えます．

トピ内ID：1493016893

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逆コナンさんへ

041
高齢者
＞すみませんが、式や専門用語などを使わないで説明すると『e』ってなんでしょうか。 ＞小学生でもなんとなくイメージがつかめるような説明を、お願いします。 無理です。 小学生は理解する必要が無い代物です。 小学生に限らず、一般社会でも普通に生活する上では、知らなくても何の不都合も有りませんから。

トピ内ID：6079957071

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小学生には説明できません（横レスです）

041
凡人
　数学は積み重ねですから小学生の算数では　e の説明はできません。 　レスされた「逆コナン」さんのpHの説明も、酸性やアルカリ性の概念（どういうものを酸性というか、またアルカリ性というか）が理解できていないと納得できないものと思われますが…。 　それと同じで対数や微分を小学生の算数レベルに合わせた説明は難しいと考えます。

トピ内ID：7321951172

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分かりやすい説明を試みてみました(1)

041
えるま
x-y座標の平面上に，なめらかな曲線のグラフを描いてみます。その曲線上の1点に接するように直線を描き，この傾きを調べます。傾きとはその直線が右に1行くといくつ上に上がるかということで，平らなら0だし右上がり45度なら1です。その傾きを，接する点のxの値に対応するyの値としてグラフ上にしるします。 これを元の曲線上のたくさんの点についてやってみると，もう1つの曲線ができあがり，これはたいてい元の曲線とは違う形になります。たとえば元が放物線であればできるのは斜めの直線です。 ところがある曲線については，できた曲線が元の曲線と一致します。グラフではｙの値が2.718...のx乗，つまり f(x)=e^x という関数です。 微分して不変とは，大まかにはこういうことです。

トピ内ID：2798381851

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分かりやすい説明を試みてみました(2)

041
えるま
年利100％という預金があるとします。1年経てば元金が倍に増えるわけです。しかしこの預金は利率を期間に比例させて複利にしてもいいのです。つまり利率50％で半年預けると1.5倍になり，これをまた半年預ければ2.25倍になります。 とすると間隔を短くして多数回複利にした方が得ですよね。1か月複利で8.33...％であれば2.613...倍に，1日複利であれば2.714...倍，さらに間隔をせばめればもっと高くなりますが無限には増えずある数値に近づいていきます。それがeです。 また，プレゼント交換を考えてみましょう。多人数で1人1つのプレゼントを持ち寄って1か所に集め，それをランダムに1つずつ渡すとします。自分の持ってきたプレゼントを自分がもらってしまう可能性がありますが，参加者の誰もが自分の持ってきたプレゼントに当たらないこともあります。こうなるのは2.718...に一回，つまりe分の1という確率です。

トピ内ID：2798381851

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正規「直行」基底ではなく「直交」でした

🙂
よしお
すみません、変換ミスです。 整数の整数冪がありますね。2^3とか5^4とか。 これらをa^xと書きましょう。 そして底aと指数xを実数へ拡張します（xは複素数へ拡張すべきなんですが置いておきます）。 Excelを持っている方は、y=2^xとかy=5^xのグラフを書いてみて下さい。 指数関数のグラフは同じような形をしています。 このうち、y切片における接線の傾きが1になる指数関数が「特殊」で、a=eになります。 これは「e^xをxで微分してもe^xのまま」ということを言い換えただけです。 何でもかんでも小学生にも分かるように、というのはどだい無理な話です。 eについては、もっと考えれば思い付くかもしれませんが。

トピ内ID：8735434747

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小学生には無理なのですね

041
逆コナン
自分が頭脳は子供なので、小学生、と表現したのですが、無理な話なのですね。残念です。 酸性・アルカリ性は小学校で習います。 青（赤）色リトマス紙を赤（青）に変えるもの、という程度で本質とは違うかもしれませんが その程度のレベルで分かればいいな。と思ったのです。 一方で（自分でなんとなく無理かなと思うのではなく） 無理なら無理と明言していただくことも期待していた回答の一つです。 ありがとうこざいます。 複利と確率のように一見無関係なようなことが、同じeを使って表現されるのは面白いと思います。 電線のたるみの計算などにも使われるのですね。 なお、わたしはトピ主さんではありませんので、トピ主さんの意向とは違うかもしれません。 トピ主さん、横からすみませんでした。

トピ内ID：1447685291

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「e」の出所は…

041
名ばかり臨床検査技師
　 (log(a,x))' = lim (log(a,x+Δx)-log(a,x))/(Δx) 　　　　　　　　Δx→0 　　= lim log(a,(1+Δx/x))/(Δx) 　　 Δx→0 　　=(1/x) * lim log(a,(1+Δx/x))/(Δx/x) 　　　　　　 Δx→0 　　=(1/x) * lim log(a,(1+Δx/x)^(x/Δx)) 　　　　　　 Δx→0 　　=(1/x) * log(a,　lim (1+Δx/x)^(x/Δx)) 　　　　　　　　　　Δx→0 で， 　　lim (1+Δx/x)^(x/Δx) = 2.7182818284590… 　 Δx→0 となる事が証明された経緯から，この極限値を「e」と置き， (log(a,x))' = 1/x * log(a,e) なる，対数の微分公式が出てきたものです(a>0，a≠1で，対数の底）． 更に，a = eの場合は，log(a,x) = ln(x)，log(a,e) = 1，から， 　　(ln(x))’= 1/x という自然対数の微分が導出されます．

トピ内ID：1493016893

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逆コナン様

041
ss
逆コナン様 ＞青（赤）色リトマス紙を赤（青）に変えるもの、という程度 この程度でいいなら、 「eとはネイピア数と言って、数学自然科学工学経済学等で広く使われる数です。値は約 2.72です。」 でいいのでは。

トピ内ID：8344890756

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今更それを知ってどうしたいのか。

🐤
とま
過ぎ行く日々を惜しんではなりません。 毎日が新しいこととの出会いの日々です。

トピ内ID：7213574651

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ちょっとした（？）悩み

041
名ばかり臨床検査技師
　前出のEulerの公式 　　e^(i*θ) = cos(θ) + i*sin(θ)　(iは虚数単位) によると，θ=2nπ（n=1,2,3,…）の時左辺は1になります．とすると， 　　1^x=(e^(2*π*i))^x=e^(2*π*i*x)=2 2*π*i*x = ln(2) x = ln(2)/(2*π*i)=-i*ln(2)/(2*π) となり，「1の累乗から2が作れる（！？）」なる結論も得られる感じです． いかに複素関数の魔力とは言え，こんな事があっていいのか，とも思えますが…． 　以上は「e」そのものというよりは複素関数の話題になりますが，この数に纏わる1つの「逸話」というご紹介でした．

トピ内ID：1493016893

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自明過ぎるが放置できない・・・

🙂
よしお
横ですが、名ばかり臨床検査技師さん。 nが整数のとき、 cos{2nπi}+isin{2nπi}=1+i×0=1 で、2は出て来ませんよ。 オイラーの公式の両辺の絶対値をとってみると自明ですが、 e^{iθ}もcosθ+isinθも「大きさ（複素平面における原点からの距離）」は、任意のθに対して1です。 1^x=(e^(2*π*i))^x=e^(2*π*i*x)=2 も間違っておりますが、最右辺を「正しく」2^xとしていれば、 間違いにすぐ気付けたんではないかと思います。

トピ内ID：8735434747

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逸話・・・

041
逆コナン
きちんとした説明にはついていけない、でも「そういう名の特別な数がある」では満足できない、 ＞どういう風に特別なんでしたっけ？ はトピ主さんの書き込みですが、 私が聞きたかったのは逸話なのかもしれません。 名ばかり臨床検査技師様 ＞1の累乗から2が作れる（！？） 実際の小学生にはわからないと思いますし、私も数式は理解できませんが この「逸話」はおもしろいです。 えるま様のレスでも、プレゼント交換という身近で具体的な例を取り上げたのがポイントで、 e分の1という確率になる事象はたくさんあると思いますが、それらをひっくるめて指す抽象的な言葉での説明なら 最後まで読めなかったかもしれません。

トピ内ID：1230766253

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