息子（３歳児）が私にライバル心を燃やしています

特に困っていたり、不満があるわけではないのですが、ふと疑問に思いました。子育ての先輩方からご意見、ご経験談などをお聞かせいただけたら、大変有り難いです。
私（母親）の息子（３歳）は、私にすごく対抗心を燃やしているようです。私がアンパンマンの歌を歌おうものなら、大声でさえぎって歌わせないようにします。「ダメー！！！」、「ママは歌わないで！！」と。そして、自分が意気揚々と歌います。
「なんでママが歌っちゃダメなの？」と聞くと、「○○（自分の名前）くんが歌えなくなるから。」と言います。一緒に歌えばいいのにと思うのですが、それは嫌みたいです…。

今日は、ある施設で楽器を色々試したのですが、私は特にピアノは得意ではありませんが、アンパンマンの歌の旋律くらいは弾けます。私が弾いて息子が歌えば楽しいかなと思って弾くと、「ママはやっちゃだめ！」とさえぎって自分ででたらめな曲？（セミがないてるミンミンミンと言う歌でした。本人にとってはでたらめじゃないですね。）を元気に鍵盤を叩いて歌います。

歌うにしてもピアノにしても、子どもより大人の私が上手いのは当然です。それが嫌で、「ママが歌うと○○（自分の名前）が歌えなくなる。」と言って、歌わないでと言います。
電車から降りるときも、「○○（自分の名前）がいちばん、ママがにばん。」と言って先に降ります。
幼児ってこういうものでしょうか？それともうちの子が特に負けず嫌いなのでしょうか？