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一次関数が良く分かりません。

レス23
（トピ主 0 ）
😢
数学苦手っ子
話題
一次関数について教えてください。

解き方の分かっている問題
1点Ａ（－２，１）と点Ｂ（６，５）の中点の座標。

（（－２＋６）÷２，（１＋５）÷２）→（２，３）

より簡単な解き方の分からない問題
2点Ａ（－２，１）と点Ｂ（４，１０）の線分ＡＢ上の点Ｐ
ＡＰ：ＰＢ＝２：１ となる場合の、点Ｐの座標。

※－２と４の間は６あるので、６×２／３＝４・・・－２＋４＝２
※１と１０の間は９あるので、９×２／３＝６・・・１＋６＝７
よって点Ｐの座標は（２，７）・・・となるのは理解できます。

1のように、（（－２＋４）×２／３，（１＋１０）×２／３）
というような考え方（解き方）で、なぜ解けないのかが分かりません。

小町の皆様よろしくお願いします。

トピ内ID：9218102821

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公式は中学範囲ではない

041
元塾関係者
質問の内容は高校２年生内容の内分点の公式なんです。 Ｘ座標だけ抽出して表すと、内分点の公式は Ａ(a),Ｂ(b)をm:nに内分する点の座標は(na+mb)/(m+n)で求められます。 ですから、 Ａ（-2,1)とＢ(4,10)を2:1に内分する点Ｐの座標は Ｘ座標は(-2*1+4*2)/(2+1)=(-2+8)/3=2 Ｙ座標は(1*1+10*2)/(2+1)=(1+20)/3=7と求められます。 (*は「かける」の記号です） 中点の時は内分が1:1と言うことですから、 Ａ(-2,1)とＢ(6,5)を1:1に内分する点で Ｘ座標は(-2*1+6*1)/(1+1)=(-2+6)/2、Ｙ座標は(1*1+5*1)/(1+1)=(1+5)/2 となって中点のときだけ、見た目は足して２で割ればいいように見えるのです。 中２ですから、難しく考える必要もありませんし、内分公式を覚える必要もない。 単純に中点のときだけは簡単に求められるが、その他のときはきちんと考える、 という解釈で十分ですよ。

トピ内ID：3960561222

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本当は目の前で説明したいけど…

🙂
みっく
ここでの文字打ちでうまく伝わるかわかりませんが… どちらも基本的には「２」の考え方です。 要は、二つの点の間の距離を何等分かに割ってます。例えば ＞－２と４の間は６あるので、６×２／３＝４・・・－２＋４＝２ これを「２：１」ではなく「１：１」つまり中点を求めることにして考えてみましょう。 －２と４の間は６あるので、６×１／２＝３・・・－２＋３＝１ ですよね。 確かに－２と４の中点は１です。 さて、ここで座標の数字を文字にします。 －２＝a、４＝b、とします。（ａ＜ｂ） 距離を求める方法は、「大きい方から小さいほうを引く」なのはわかりますよね。 すると、ａｂ間の距離は（ｂ－ａ）です。これを使ってさっきの式を文字化すると （ｂ－ａ）×１/２　←距離を半分こにしました ａに足します→　ａ＋｛（ｂ－ａ）×１/２｝ これを展開すると （ａ＋ｂ）×１/２ これは、中点を求める式と同じになっています。比べてみて下さい。 要するに「中点を求める式」というのは、主さんが考える「２」の方法を公式にしたものなんです。 どうでしょう

トピ内ID：6204161473

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まずグラフを書く

041
えせ専門家
座標系、とくに負の値を全く考えていないから解けないんですよ。 アンチョコ的な解法を積み上げるだけでは破綻しますから、 いまのうちに、グラフを書いて、そこから読み取る努力をしてください。

トピ内ID：5982654222

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図（グラフ）を描けば！

💍
ピンク・サファイア
数式だけでやろうをするから、混乱する。 こうした問題は、簡単な図を描いて解けばいいだけです。

トピ内ID：4993616021

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内分点の場合ですね～

041
NAVI
AP：PB＝２：１から AP＝２PB　・・・（＊） P（χ，ｙ）とすると 【まずはχ座標から・・】 χと－2の間はχ－（－2），4とχの間は4－χとなるので （＊）の式にあてはめると χ－（－2）＝２（4－χ） 3χ＝２×４－２ χ＝（２×４－２）／３　となります。 ｙ座標についても同様に ｙ＝（２×１０＋１）／３　ですね。 よって点Pの座標は（２，７） ＡＰ：ＰＢ＝２：１ となる場合の、点Ｐの座標は （Bの座標×２＋Aの座標×１）／（２＋１） となります。 ＡＰ：ＰＢ＝m：n となる場合の、点Ｐの座標は （Bの座標×m＋Aの座標×n）／（m＋n） となります。 ＡＰ：ＰＢ＝２：１ならPの座標はAよりもBの方に近いはずですよね。 分子の部分が（－２＋４）×２とか（１＋１０）×２にはなり得ないんです。 図を描いて考えていただけるとわかると思うのですが・・

トピ内ID：3982336023

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ちょっと大げさですが

041
玲玲
前者を特殊解、後者を一般解といいます。 数学に限らず、分かり易い特殊解を、一般化する過程が自然科学なのです。 難しい方向に進むのが学問なんです。

トピ内ID：4989477161

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話が逆

🙂
あいうえお
ベクトルまで勉強するといいんだけどね。 実は最初の1/2にする方が特殊なんですよ。(X1, Y1) , (X2, Y2)でやってみましょう。半分にする方のx座標はあとの考え方で　(X2-X1)/2 + X1=(X2+X1)/2 Y座標も(Y2-Y1)/2 + Y1 = (Y2+Y1)/2 単純に足して半分にしたのと偶々合ってるのです。 これは2/3でもなんでも使えます。 ベクトル（方向と大きさを持つもの）で考えるといいのです。原点をOとして、OA とOBの中点は（OA+OB)/2 2:1に分ける点はOA/3 + 2OB/3 主さんの挙げた間違いは2OA/3 + 2OB/3 としてしまってます。誰かもっと分かり易く教えてくれるでしょう。

トピ内ID：6639157112

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高度な質問ですね

🙂
ゆう
主さんの考え方だと、「2:1」の「1」が使われていませんね

トピ内ID：0260278440

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内分の定義を読みましたか。

🙂
昔の生徒
点A(a,b)、点B(c,d)、線分ABをm:nに内分する点P(x,y)の求め方は以下のように定義されています。 Aを基点とすると 　x=a+(c-a)×m/(m+n)=(na+mc)/(m+n)、同様にしてy=(nb+md)/(m+n) となります。 Bを基点にとると 　x=c+(a-c)×n/(m+n)=(na+mc)/(m+n)、同様にしてy=(nb+md)/(m+n) となります。どちらを基点にとっても、結果は同じです。 中点を求める場合は、m=1、n=1となり、結果だけを見ると、ｘ座標の和とｙ座標の和を２で割ったように見えます。実際には各数値に係数"１"が掛かっていることを忘れてはいけません。 次に線分ABを2:1に内分する場合は x=((-2)×1+4×2)/(2+1)=2、y=(1×1+10×2)/(1+2)=7 となります。 算数、数学は定義が必ず述べられています。注意して読みましょう。

トピ内ID：1364493460

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意味解ります？

🐴
ドンキー
２点A、Bを通る線分が直線の場合（xとyの一次関数） のABの中点座標は、機械的に トピ主さんのようなx座標、y座標同士をたして２で割る 解法でも求められますが、 線分を例えば2:1の長さに分ける座標を求める場合、 トピ主さんの行っていることは単にx座標、y座標同士のたした数値の2/3を 求めています、これは線分上の座標ではないからです。 （点ABを結ぶ最短距離（直線）上には存在しないからです。）

トピ内ID：0531134366

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一貫してない

🙂
おっちゃん
＞－２と４の間は６あるので、６×２／３＝４・・・－２＋４＝２ ＞１と１０の間は９あるので、９×２／３＝６・・・１＋６＝７ ＞よって点Ｐの座標は（２，７）・・・となるのは理解できます。 では、－２と４の間は２＋４（絶対値）で計算しているのに ＞１のように（（－２＋４）×２／３，（１＋１０）×２／３） こちらでは－２＋４と絶対値で計算していないからおかしいのです。

トピ内ID：8887084696

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文字式でかんがえてはどうかな

041
おじさん
基本はあなたの考えでいいと思うよ、たとえば２点をA（a,c）B（b,d）としてA とＢを２：１に分ける点のX座標は次のようになります　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a＋（b－ａ）×２／３＝（a+2b）×1/3 1：１に分ける点のX座標は同様に　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　a＋（b－ａ）×１／２＝（a+ｂ）×1/２になるよ

トピ内ID：4398578201

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レスします

🙂
roujin
＞1のような考え方（解き方）で、なぜ解けないのかが分かりません。 ということは１、の考え方が間違っていると云う事です。 二問目と同じ等に考えてみましょう。 ー２と６の間は８あるので、８÷２＝４・・・６－４＝２　又は－２＋４＝２ １と５の間は４あるので、４÷２＝２・・・５－２＝３　又は１＋２＝３ 　→中点座標は（２，３）

トピ内ID：9867433218

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教える順番が多分悪い

041
toto
２の問題のように ２点の差を計算して、その差を元に計算する方法、これが本来の方法と考えて下さい 図を書いてみるのも大事です もしかすると、１の方法を先に習ったかもしれませんね こっちを先に教えると混乱しますよね、こっちがスタンダードな方法かと勘違いしてしまいます 計算としてはこっちの方が単純なんですけど これは、たまたま「中点」を求める時にしか使えないんです 中点を求める時だけ計算を単純化できるのです、ただの偶然です なぜ、中点を求める時だけ計算を単純化できるのか それは、みっくさんが投稿で解り易く説明してくださってます はるか昔の数学の授業を思い出しました

トピ内ID：9675817697

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ＡとＢを単純に足すのではなく、重みを付けて足す

🐴
算額
Ｘ座標で説明します。Ｙ座標も同様。 ＞※－２と４の間は６あるので、６×２／３＝４・・・－２＋４＝２ これを式で表すとこうなります。 　｛４－（－２）｝×２／３＋（－２） ではこの式を変形してみましょう。 まず第２項を第１項のように分母３の分数式で表します。 　｛４－（－２）｝×２／３＋（－２）×３／３ そして一つの分数式にまとめると、 　｛４×２－（－２）×２＋（－２）×３｝／３ （－２）に関する部分の計算をすると簡単な式になります。 　｛４×２＋（－２）×１｝／３ これは、Ｂ（４）に２倍の重みを付け、Ａ（－２）に１倍の重みを付けていることを意味します。 ＡＰ：ＰＢ＝２：１ はＡＰ×１＝ＰＢ×２という意味だから、なんとなくイメージ的に合うでしょう？ 公式は、ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎの場合のＰの座標は、 　（Ａの座標×ｎ＋Ｂの座標×ｍ）／（ｍ＋ｎ） 中点の場合は１：１なので、たまたま足して２で割るという式になるだけです。 　（－２×１＋６×１）÷（１＋１）＝（－２＋６）÷２

トピ内ID：8495225087

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公式より図解

🐤
ひよこぴよ
「数学苦手っ子」さんのおっしゃる公式は、「内分点を求める公式」だと思いますが、私(58)の世代ですと高校時代に習いました。 内分点の公式はそれほど難解な式ではありませんけれど、覚えにくいんですよね。本当はどうしてそのような公式になるのかを導きだせると一番いいのですけれど、使うたびに導きだしているわけにはいきませんから、図解するのが一番です。 中学、高校までなら求める答えの座標の数値はほとんど「整数」になるような問題のはずです。(工業高校・電気系では「複素数」を使うこともあります) 私も、あの公式は　覚えなかったです。覚え間違いしやすいからです。それより何度も計算していますと自然と頭の中に　座標　が浮かんで　計算しなくてもわかることも多いです。三角形の相似形を応用するんです。 公式・定理を証明している辞典があります。 「数学定理・公式小辞典」 「数学要項　定理公式証明辞典」 学校図書室にはあると思います。数学教師も使用している辞典です。 このようなこと将来役に立つのかと思われる人もいるでしょう。たとえば建築学、土木工学はもちろんのこと日常生活、家事にも参考になること多し。

トピ内ID：5998042408

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二度目です

🙂
roujin
先ほどのレスで、急用が出来て詳しく書けないまま送信したので 追加のレスをします。 主トピの４行目「（（－２＋６）÷２，（１＋５）÷２）→（２，３）」 この式の意味が全く分かりません。 （確かに中点の場合のみ答えだけは合うと思いますが。） Ａ点とＢ点のＸ軸の距離を求めるのなら「６－（－２）＝８」となります。 Ａ点とＢ点のＹ軸の距離を求めるのなら「５－１＝４」となります。 そして８÷２＝４、４÷２＝２がＡ点からの求める中点までの距離になります。 従って、求める中点の座標はＸ軸はＡ点の座標からプラス（右）方向に４進んだところです。 式で書くと　－２＋４＝２です。 Ｙ軸はＡ点の座標からプラス（上）方向に２進んだところです。 式て書くと　１＋２＝３で、座標は（２，３）になります。 トピ文の下から３行目は、問題解決には意味も無い式です。 トピのタイトルに「一次関数」と云う文字があるので、数学的に説明するべきかもしれませんが、 トピ文は思い切り算数的な文章なので、それの沿いました。

トピ内ID：9867433218

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私も数学苦手・・・

⚡
ヒュペリオン
普段、仕事で使ってる計算方法。 一次関数の正式な式ではないと思うけど。 一応わかりにくいので＋÷×を全角で使用。 1の別の解き方の応用 1. X座標の点A＋Pまでの距離((A～BまでのX方向の長さ÷2) Y座標の点A＋Pまでの距離((A～BまでのY方向の高さ÷2) -2＋((2＋6)÷2)＝2 1＋((5－1)÷2)＝3 点P(2,3) (2＋6)の考え方： マイナス方向に2、プラス方向に6、それを両方足す。 直線で考えると長さがわかりやすい。 (5-1）の考え方：高さを求めるので5から、0(ゼロ)から点Aまでの高さ分を引く。 2点Ａ（－２，１）と点Ｂ（４，１０）の線分ＡＢ上の点Ｐ ＡＰ：ＰＢ＝２：１ となる場合の、点Ｐの座標。 -2+((4+2)×2÷3)＝2 1+((10-1)×2÷3)＝7 点P(2,7) ×2÷3は×2/3(２：１ の距離) 解けないのは、長さと高さで考えていないからかな？ あと、マイナスの数字を普通に計算してしまっているところ。 一回、升目に線を引いてみるとわかりやすいかも。

トピ内ID：6258528082

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中点とは

041
ねこさん
中点とは１対１の内分点と考えるだけの話しです。

トピ内ID：3787990039

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そもそもおかしいのは…

🙂
名ばかり臨床検査技師
>1のように、（（－２＋４）×２／３，（１＋１０）×２／３） 　もしこんなやり方で出した値が正解なのであれば，AP:PB=2:1でもAP:PB=1:2でもPの座標は同じ，という事になりますよ（「2/3」が，APのABに対する比なのかPBのABに対する比なのか？それが式に反映されていない）．斯様に不合理な話はありませんね．まずそこに気付かなければならないわけです． 　何人かの方が仰っているように，線分ABをm:nに内分する点Pの座標は，A，B，Pの座標を各々(a,c)，(b,d)，(x,y)とした時に， 　　x = a+{m/(m+n)}*(c-a) = {(m+n)a+m(c-a)}/(m+n) 　　 = (na+mc)/(m+n) 同様に， y = (nb+md)/(m+n) であり，Pが線分ABの中点，即ちm=n(=1)の場合に限り， 　　x = (a+c)/2，y = (b+d)/2 となって，あくまでたまたま両端の座標の平均に一致するのです．

トピ内ID：8812531940

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片方の点が原点の場合に成立する

🙂
鮒一把二把
中点の場合だけは２点のXY点の平均値を求めればできます。 中点だけの簡便法です。 2：1などでから比較するのは片方の点が原点の場合に可能になります。 質問文の※の解答は実はA点を原点（0、0）に平行移動していることになります。 そして-2や1を足しているのはA点を元の位置に戻す作業と同じです。

トピ内ID：7358984737

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念のため

041
えせ専門家
実際、２次元の内分点を求める問題であることは多くのご指摘どおりですが、 一次関数は中学で習う内容ですし、質問の書きっぷりから見ても、 中学生レベルの疑問と思われます。 そこに、ベクトルなど、教科書の当該単元に出現しない事項を用いて説明すると、 むしろ混乱を助長しませんでしょうか。 ...と思ったので、私は「とりあえずグラフを書こう」と申し上げました。

トピ内ID：5982654222

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回答になっているかどうか

041
おじさんですが
話を簡単にするために、２点Ａ,Ｂ(Ａ＜Ｂ)をＸ軸上に置いてＹ座標は無視します。 トピ主様はＡＢの中点が(Ａ＋Ｂ)/２で求められる事、および ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎとなる点ＰがＡ＋(Ｂ－Ａ)×(ｍ/(ｍ＋ｎ))で求められる事を理解しています。 そしてトピ主様は、なぜ点Ｐが(Ａ＋Ｂ)を用いた考え方では求められないのかと質問しています。 それは、Ａ＋Ｂの値と点Ｐの座標は中点を除いて無関係だからです。例えばＡ＝２,Ｂ＝６と Ａ＝０,Ｂ＝８ではどちらもＡ＋Ｂ＝８ですが、両者で共通なのは(Ａ＋Ｂ)/２＝４の中点のみであり、 中点以外は両者で異なります。試しにｍ＝１,ｎ＝３とすれば前者はＰ＝３、後者はＰ＝２です。 では中点以外をこれと似た考えで算出できるでしょうか。 Ａ＋(Ｂ－Ａ)×(ｍ/(ｍ＋ｎ)) ＝Ａ×(ｎ/(ｍ＋ｎ))＋Ｂ×(ｍ/(ｍ＋ｎ)) ＝(Ａ×ｎ＋Ｂ×ｍ)/(ｍ＋ｎ) ですから、ＡとＢの値をｎとｍ(ｍとｎでない事に注意)で重みづけした平均の形になります。 しかし同じ事ですからトピ主様が理解している算出方法で良いと思います。

トピ内ID：4126102917

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