反抗的な部下

中堅の会社で30代後半女性主任です。上に男性部長、下に20代後半女性班長と一般社員が男女10人程度の職場です。
この班長が非常に反抗的で筋の通らないことを言うので困っています。アドバイスを頂けないでしょうか。
なぜ班長に選ばれたのかわからない人で、仕事の知識が浅い上、プライベートなことが仕事に影響が出るタイプです。私も質問に来たら細かく教えたり、作業上の提案も班長には先に伝えたりと、苦手だからと外すようなことはせず彼女を立てるようにしています。
ですが、本人は何が不満なのか、突っかかるばかり。私だけではなく部長にも突っかかります。だから部長も気を遣ったり、注意もできず野放しです。
上司も部下も関係なく、本当に小さいミスや失敗を他の課にも聞こえるようにオーバーに叱責します。上司も年配なので多少の失敗もありますが、容赦しません。私から見ると決してミスが多い方ではありません。他の課員からはみんなが私を頼ることにイラついているように見えると言われましたが私は私自身が仕事できない認定されているようにも思えます。彼女は人も作業も好き嫌いが激しく、叱責するのが上司と思っているのか粗探しばかり。あと、部長も彼女を全く頼りません。仕事の指示は全て私か、不在時は別の社員に指示しているようです。
一見彼女を外しているように見えますが、全ては自分のまいた種です。他の課員から彼女に対して怖い、関わりたくない、なんとか改善して欲しいと言われますが部長はほっとけと言うし、私はもう彼女の直接的、間接的な嫌がらせに心折れそうです。
最近言われたことは私の残業時間です。主任なので、当然認められた時間内ですが納得できないそうです。納得できないことを本社に相談するなど、社内でも理解できない行動ばかりです。
気難しい部下をしっかり抑える知恵を貸してください。情け無い質問でお恥ずかしいのですがよろしくお願いします。