１／3の話

　0.999999999…… ＝0.9＋0.09＋0.009＋0.0009＋…… ＝0.9×(1＋0.1＋0.01＋0.001＋……) ＝0.9×lim(n→∞)[{1－(0.1)^n}/(1－0.1)] ＝0.9×[1/(1－0.1)] ＝0.9×(1/0.9) ＝1 次に、 　1－0.9999999…… ＝1－1 ＝0 きっかり"０"です。詳細は適当なテキストをご覧ください。

0.999999・・・のことを0.(9)と書くことにします。 トピ主が書かれたように、1/3は0.(3)です。 これを3で割ると、0.(1)は1/9であることがわかります。 つまり、0.[9]=0.(1)*9=1/9*9=1となります。 0.(0)も同様に0/9=0です。 余談ですが、 1/99は0.010101010101・・・であり、0.(01)となります。 1/999は0.001001001001・・・であり、0.(001)となります。 この法則により、あらゆる無限に繰り返す小数（循環小数）は分数で表現することが可能です。 ちなみに、0.22111111・・・のような場合は、0.22と0.00111・・・に分け、後者を100倍して考えると、0.(1)となるので、 0.22*0.(1)/100=0.22+1/900となります。 円周率のように循環しない無限小数にはこの考えは使えません。

0.000000・・・と無限に続く小さな数字はゼロ以外は存在しないと習ったような気がします。 だから逆に0.9999・・・と無限に続く数字は１と等価であるとも。 　　ａ＝0.999・・・（無限） １０ａ＝9.9999・・・（無限） １０ａ－ａ＝9.999・・・（無限）－0.999・・・（無限） 　９ａ＝９ 　　ａ＝1 よって1＝0.999・・・（無限） １－0.999・・・（無限）＝０ だから 1/3＝0.333・・・（無限）ではなく 強引に書くとすれば 1/3＝0.333・・・（無限）余り0.000・・・（無限）・・・0001 割り切れないなら余りを書く必要があります。 両辺に3を掛ける場合、右辺には余りがあるのだから足す必要がありますよね？ 1/3＝0.333・・・（無限）が正しいとする思い込みが不思議な現象と思わせてしまうのでしょう。 すみません。 頭のいい人、訂正して～ なんか間違った説明をしているような気がする・・・（無限）

1/3 = 0.33333333... (∞) = 0.3x(1+(1/10)^1+(1/10)^2+(1/10)^3+ ...) ∞ に続く = 0.3x(1/10)^n/(1-(1/10)) (ここに n は整数．n -> ∞ ) = 0.3x(1/(1-(1/10))) （なぜなら n -> ∞ で (1/10)^n は 0 だから） = 0.3x(10/9) = (3/10)x(10/9) = 1/3 1 = 3x(1/3) = 3x(0.3333333)...(∞) = 0.999999...(∞) 上の 0.3 の代わりに 0.9 とおくと同様にして 1 になる． 1-0.999999... (∞) は 0.0000....1 (0 が無限個) と考えると (1/10)^n (n:整数、n -> ∞) と表現できて、これは 0 に収束する． 解りにくい書き方かもしれませんが 0.3^n は 0.3 の n 乗を意味してます． で、上記は 1+a^1+a^2+...a^n = (1-a^(n+1))/(1-a) n:自然数；a:数 を利用して説明してます． あなたさまが仰りたいのは 9 も 0 も幾ら多くても有限個であるかぎり 1 や 0 にはなり得ないということなのでしょう． 無限個になればその限りではありません． 循環小数の例でこれは全て整数比として表現され、したがって有理数です．上記を参照に証明できます． rational number: 比率として表現される数　 訳すとき「理性を有する」数と訳したのでしょう． ratio （整数）比として現されるが真意でしょう． 決して有理数が理性を有し、無理数には理性がないという意味ではないです． 何せ、私これらに関して素人ですので成書など参照してください．

0.9 に 0.1 を足すと「1」になります。 0.999999 に 0.000001 を足すと「1」 0.999999999999 に 0.000000000001 を足すと「1」 最後の 9 と同じ位に 1 ですね。 0.999999999999… に 0.000000000000… を足すと「1」 9 が無限に続くと「最後の 9」がないので、0 の後の 1 もありません。 0.000000000000… は無限に 0 が続くので「きっかりゼロ」と同じことでしょう。 （10.00 も 10 と同じですよね） 0 を足して 1 になる数は、1 と等しいと思います。 だから 0.999999999999… ＝1 ＞0.999999999999・・・はどこまで行っても ＞１にならないように思えるのですが、 ＞どのように考えるといいのでしょう。 どこまで行っても 1 にならないように見えるけど 「1」を無限に細かく刻んで表示しているだけ、と私は考えています。 アキレスはどこまで行っても亀に追いつけないように思えるけど、 追いつくまでの時間を無限に細かく刻んでいるだけなので、実際は追いつけます。 そんな感じで……。

１÷３だと考えにくいので、１０÷３で考えましょう。 １０÷３は３あまり１です。 この「あまり」の考え方が大事。 これを１÷３に当てはめてみましょう。 0.3　あまり0.1　です。 ね？「１」になるでしょう？ 割り切れない現象というのは、この「あまり」を考えないで無理やり細かくしていくことです。 どんなに細かくしていっても、「きっかり」には割れません。 「あまり」が出ます。 その誤差を「あまり」として足してください。 ちゃんと「１」になりますでしょ？

皆さま、回答ありがとうございました。 たいへん勉強になります。 やはり1＝0.99999999999・・・ ということなのですよね？ したがって １ー0.999999999999・・・＝ピッタリ０ 「 lim n→∞ 0.1^n 」と書くのでしょうか？ 概念としてゼロが「無」であると考えると、 0.0000000000・・・は「有」であると思われ、 「有（0.0000000000・・・）」と「無（ゼロ）」との境い目は どこにあるのかとふと思い、質問させていただきました。 y＝１／xのグラフで言えば、 xが無限大になってもx軸（y＝０)に接することはないように思えるが、 lim x→∞ １／x ＝ ０？ というところが不思議だと思ってしまいます。 皆さまの回答とても興味深く拝見し勉強させていただきました。

この話は1/9＝0.111111…を9倍して1＝0.999999…とする事もあります。 さて「0.999999…はどこまで行っても1にならない」と言い出すと 「0.333333…はどこまで行っても1/3にならない」とも言えるので、 話が最初から進みません。 視点を変えて、無限小数(小数点以下が無限に続く小数)はあるひとつの 数を表しているはずなので、どんな数を表すのか考えてみます。 例として、円周率を考えます。これが無限小数3.141592…である事は 誰でも知っていますが、無限小数3.141592…が円周率というひとつの 数を表しています。それを有限の桁数で打ち切れば誤差を生じますが、 桁数を増やしていくといくらでも誤差は小さくなります。 この例の様に、無限小数は桁数を増やしていくと限りなくその値に 近づいていく様なひとつの数を表します。 0.999999…は桁数を増やせば限りなく1に近づくので、1を表します。 ですから、1＝0.999999…です。 0.333333…は桁数を増やせば限りなく1/3に近づくので、1/3を表します。 ですから、1/3＝0.333333…です。 「どこまで行っても等しくならない」ではなく「いくらでも近づいて いく」事が重要だったのです。

まず、 １／３＝0.3333… ではありません。 １／３■0.3333… です。 0.9999…はどこまで行っても１にならないのと同じで、0.3333…はどこまで行っても１／３にはならないのです。

以下掛け算記号なしの文字は添字です． (1-(1/10)^m)1/p (p:自然数) ∃ n1 10^(n1-1) < p < 10^n1 1/p= (1/10^n1)((10^n1)/p) = (1/10^n1)(a1xp+q1)/p (a1,q:自然数で q1<p) = a1x(1/10^n1)+(1/10^n1)x(q1/p) 以上アルキメデスの除法を利用． q1/p に対しても上記 1/p と同様に展開すると q1/p=a1x(1/10^n1)+(1/10^n1)x(a2x(1/10^n2)+(1/10^n2)x(q2/p)) q2/p にも上記同様を繰り返すと 順次 qm (m:自然数）出てくるが、p で割った余りなので高々 p-1 個の自然数に収まるのでどこかで qm=qr (r:自然数、r<m) よって上記の展開を繰り返すと 0.(n1-1 個の 0)a1(n2-1 個の 0) a2(n3-1 個の 0) 以降 0 の個数端折って ... ar ... a(r+1) ... a(m-1) ... ar ... a(r+1) ... a(m-1) ... ar ... と無限循環に入る． もっとも簡単な例の一つとして同じ値で循環する 1/3=0.3333... （無限に続く） そして本当の循環は 1/7=0.142857次の 1 で無限循環に入る． 逆に無限循環少数から分数を得るには： ∑ ai x (1/10)^i (a:正の整数,i:自然数) で表現し無限循環に入ったところから 1+(1/10)^m+(1/10)^2m+ ... (1/10)^nm + ... （∞）(m:循環の周期) =(1-(1/10)^mn)/(1-(1/10)^m) (n -> ∞) =1/(1-(1/10)^m) を使って結果が出る．

　数学には詳しくありませんが興味を持ちました。素朴な疑問。 　マリアさんの「小学生にもわかるように」の「あまり」での考え方は、私にはちょっとスッキリです。　私の頭はは小学生並み（笑）。 　１／１　＝　０．９９・・・　　余り　０．００・・１ 　０．９・・(∞)は数学的用語では”１である”なのか、”１とみなす（が１ではない：日常用語）”なのか、あるいは”１とみなす＝１である”でしょうか？。 　トピ主さんの”y＝１／xのグラフでxが無限大になってもx軸（y＝０)に接することはないように思えるが、lim x→∞ １／x ＝ ０？” 　数学では”ｙ軸に接する”なのか”ｙ軸に接するとみなす”なのか、両方同義なのか？。 　 　無限に関する、数学用語と日常用語の違いとも思いますが、スッキリした定義？を教えてください。

匿名 様、マリア 様 例えば 1÷3 を小数点以下第3位まで求めるとしたら、 0.333　余り0.001 になりますが、 1/3＝0.33333333333… は 3 が無限に続くので、余りは出ません。 ＞余り0.000・・・（無限）・・・0001 これでは「無限」になっていないと思います。

2018年10月13日 1:57の私のレスですが、機種依存文字が黒い四角になってしまったようですね。黒い四角になっているのは、＝の上下に点がある、近似値を表す記号です。「近似値 記号」でネット検索するとわかると思います。 言いたいことは、１／３と0.3333…はイコールではなく、近似値でしかないということです。 近似値の両辺に３を掛けても、それは近似値でしかありませんから、１と0.9999…もイコールではありません。

まあ、分かっちゃいるから「強引に書くなら」と但し書きをしたんですけどね。 言いたいのは1/3＝0.33333（無限）を概念的にどう説明するかって部分な訳で。 トピ主さんは計算式上は理解しても概念的に不思議に思われている訳ですからね。 これは間違いと指摘して頂くのは有り難いのですが、概念的に理解できない人にどう説明するか？というのがポイントだと思うのですが。 私は修正してってお願いしている訳だしね。