来たばかりの保護猫を病院へ連れて行くか悩みます

こんにちは。
現在先住猫オス9ヶ月でとても寂しがり屋なので、3歳のメスの子を迎えました。

この子はボランティアの方から聞いたお話だと、工場のところに住んでいて追いかけ回されたりで大変な目に合っていたので保護されました。
そのせいもあって捕まえられるのが大の苦手で、うちに来るのも安定剤を飲んでからでした。
そしてこの子は環境が変わると大変ストレスを感じるみたいで、ずっと鳴いたりうろうろします。預かってた方の家も一ヶ月経ってようやく収まったぐらいです。

以上を踏まえてトライアルしたのですが、本日見たところ右目の瞬膜がちょっと出ていて戻らない様子でした。預かってた方の資料を見るとどうやら以前風邪になったことがあるようで、その時からだそうです。

できれば近くの病院(歩き5分ぐらい)のところへ行って先生に診てもらいたいのですが、うちに慣れてからの方がいいのでしょうか…長引くことで悪影響になったりしますか？
ご経験のある方是非教えてください。