子犬のトイレのしつけについて

この間、ブリーダーさんからいただいた仔犬がいるのですが、初めて家に来た時に、ラグの上でトイレをさせてしまって、それから、ラグの上でトイレをするようになりました。ケージから出すと同時に排泄するまで、トイレに10分くらい居させたのですが、全く排泄をせず、放したら、真っ先にラグの上で排泄します。
ケージから離して、ラグの上で排泄する前にトイレに連れてっも、連れてく途中で全出ししてしまい、トイレに着く頃にはもう終わってると言う始末で…。
とりあえず、今はラグの上でしか排泄しない為、ラグの上にトイレシートを引いて、排泄してる時に、「トイレだよ」って言い、トイレシートの上でトイレができたら、褒めておやつをあげています。
子犬はすごい賢い子で、アイコンタクトやおすわりは4.5回練習しただだけで覚えました。物覚えはすごく早い子なのですが、トイレのしつけがいまいちどうやってすればいいかわからず、このような事態に…。
子犬の中ではラグ＝トイレという認識になってしまっていると思います。なので、トイレシート＝トイレという認識に変えて、トイレの場所は徐々にラグから設置したい場所へ移動していこうかなと思っているのですが、何か、ほかに、良い案はないでしょうか。

説明が下手で申し訳ありません。