同じプロジェクトの違う会社の人へのご飯の誘い方

現在お客さんとして一緒にプロジェクトに入っている男性（多分20代後半）のことが気になっています。
ただ、同じプロジェクトとは言っても会うのは週に1回1～2時間程度の会議の時のみで
会議室で行うのですが
あちら側の会社の方は一列に並んで
こちらも同じように反対側に並んで話し合いをしています。
あちら側も上司の方々がいらっしゃることから気軽に話しかけられるような空気でもありません。

以前一度懇親会でプロジェクトメンバー全員で夕食をとったことがあり、その時に少し話した程度です。
その際分かったことは彼の趣味と彼女がいないということ（私の上司たちがいじって聞いていました）
なぜ話をそこまでしたことがないのに気になったかと言うと、真面目でおだやかな人だと直感で感じたからです。
プロジェクトは1ヶ月ほどで終わってしまいます。それまで会うことは、やはり週1度の会議のみであとは最後に食事会があるかな？と言ったところです。
そこで、今迷っていることとして2つあります。
1つめは社用のメールアドレス宛にご飯に誘おうと思っているのですが、男性の方々ならどうでしょう？同じプロジェクトのそこまで親しくない女性から突然ご飯の誘いがあったら驚いてしまうでしょうか？その場合何か他の方法があればアドバイスいただきたいです。
2つめはプロジェクト中に送るかプロジェクト後にするかです。プロジェクト後のほうが無難だと思いますが、それまでになにか相手に出会いがあったらいやだなあとも思っています。同じ経験をされた方、それ以外の方でも良いのでアドバイスよろしくお願いします。