試用期間中の退職後、すぐに転職

はじめまして。
パート主婦のぼっちと申します。
昨年パートを退職し、最近まで職探しをしていましたが、ようやく採用頂き働き始めて数日ですが、会社Aと私のお互いの話し合いで、試用期間の内に退職となりそうです。

現在の状況は試用期間1か月、雇用保険加入なし、給与はまだもらっていません。

今回の退職は残念ですが、上記の会社Aと同じタイミングで転職活動をしていた会社Bから、先日連絡があり、コロナで採用のタイミングを検定していたが、緊急事態宣言の解除を目安に、来月から採用したい、との連絡を頂きました。

転職活動はAB社共に同時期に行っており、今回連絡を受けた際B社にはA社に採用された話はしませんでした。（すぐに辞める事が決まっていた為、短期間の就業で辞める、と言い出しにくかったからです。）

本題です。
このまま数日分のお給料を頂かない旨を申し出た場合、社会保険、雇用保険の加入が無く、給与ももらっていなければ、B社にA社で勤務した職歴はバレないでしょうか？

ちなみにA社の退職は会社側の都合が大きな要因で、即日退職出来そうです。
A社とB社の勤務が重なる事ありません。