庶務の悩み

こんちは。長文失礼します。

現在職場でちょっとした悩みがあり、私見に囚われず広い見解をおききしたく投稿いたします。

私は総務・庶務全般の細々とした業務を担当しています。
同僚は私を含め30～40前半の女性4人で、ほぼ皆が同じ業務をこなす事ができ、関係も仲が悪い訳でもなく皆優しく良好です。3人が直雇用の非正規、一番最近入った（半年以上は経ちましたが）若い方が派遣です。

その派遣の方が、あまり能動的に仕事に入ってくれず、もう少し仕事をしてくれないかと悩んでいます。

詳しい背景：カチッと決まった日次の担当業務は完璧にこなして下さるのですがそれ以外は都度こちらから「○○を願いします」と言わないと自席でぼけ～っとしています。私は同じ部署に10年近く在籍し、同じ業務を担当していたので時間帯と内容を把握してますので、アクリルパネル越しの向かいの席で作業するでもなく、PC入力するでもなく固まってるので“あ、今暇してんな”とわかります。たまにこっくりこっくりもりしています。。そんな空き時間が1日に1～2時間くらい発生しているので、暇ならごくごく簡単な庶務をやってもらいたいのですがなんともな現状になっております。内容は複合機の用紙・消耗品補充やIT機器の在庫管理・備品(消毒液・共用備品・文具)補充管理等です。（一番暇そうなので)受付応対や電話も積極的に取ってほしいのですが反応が鈍いです。

今までも黙ってやらせるスタンスでなく、最初はOJTをして定期的になくなったら補充したり、管理をしてほしい旨も2～3回お伝えしました。わからなくてもすぐ聞いてもらって良いし、読んで出来るように各種手順書もお渡ししています。
定期的にやってもらえるまで口うるさいおばさんと化して重ねてお願いすべきか、上司に相談か、はたまた私が神経質すぎか、
今後業務効率化に繋がるご意見を頂けましたら幸いです。