半分の距離を・・・

レス16

（トピ主 0 ）

アマチュア

2006年10月07日 22:19

話題

例えばＡ君が１００ｍ走したとします。Ａ君はゴールするまでに半分の５０ｍを通過します。次はその半分の２５ｍ、そのまた半分の１２，５・・・と半分区切りで考えてゆくと、どこまでいってもＡ君はゴールにたどり着けません。なぜ？？この前「円の中心・・」というトピが立っていて読んでなるほど～っと感心いたしまして。。優秀な小町の皆様にお知恵を貸していただきたく、トピ立てさせて頂きました☆

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途中でやめるからでは？

ヨーヨー

2006年10月11日 12:36

12.5ｍでやめずに、6.25ｍ、3.125ｍ、1.5625ｍ、0.78125ｍまで続ければ、最後は一歩でゴールできますよ。つまり「どこまで行ってもゴールできない」ことは、全くありません。それとも「ただ単に、永遠に割り算をしてみたいだけ」というお話ですか？これと似た話に「アルキメデスと亀のパラドックス」（目指す対象も進んでいるのでもっと高度ですが）というお話があるので、興味があったら調べてみては？

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時間と一緒に考えてみましょう！

メタリック

2006年10月11日 16:26

あなたの疑問は進む距離しか考えていないからゴールを割ることができないのです。それとおなじような問題で矢を射っても目標物に突き刺さらないという疑問と同じ類です。時間という観念をいれて考えれば疑問は解決いたします。仮に１００メートルを秒速１０メートルのＡ君が走れば・・・１秒後には・・・１０メートル走ります。２秒後には・・・２０メートル走ります。３秒後には・・・３０メートル走ります４秒後には・・・４０メートル走ります。５秒後には・・・５０メートル走ります。６秒後には・・・６０メートル走ります。７秒後には・・・７０メートル走ります。８秒後には・・・８０メートル走ります。９秒後には・・・９０メートル走ります・１０秒後には・・１００メートル走ります。（ゴールしています）１１秒後には・・１１０メートル走っています。納得しましたか？

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ゼノンのパラドックス

2006年10月12日 12:44

有名な「ゼノンのパラドックス」というやつですね。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

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アルキメデスと亀

たくさん

2006年10月12日 15:48

これは、数学上の有名なパラドックス「アルキメデスと亀」という問題です。難しく言うと、これは、極限の論理を説明しています。すなわち、距離がだんだん１００ｍに近づいていく、（距離ｘを極限値である１００ｍに近づけていく）ということになります。極限を考える上での前提条件があって、これが、この問題では提示されていないので、あたかも永遠に１００ｍに到達しないような錯覚に陥ってしまうのです。ずばり、「前提条件」というのは、「時間」です。永遠にたどり着かないのではなく、１００ｍにたどり着くまでの時間内に生じている現象を、ミクロ的に（つまり極限）みるとこういう論理になるということです。ちょっと難しいですか？

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時間が止まっちゃいます

Pirocchino

2006年10月12日 17:44

この場合はアキレス君と亀さんより簡単ですね． A君が100[m]進むのに掛かる時間をT[s]とします． 50[m](100/2[m])走るのに掛かる時間はT/2[s] 25[m](100/4[m])走るのに掛かる時間はT/4[s] ： 100/(2^n)[m]走るのに掛かる時間はT/(2^n)[s] 距離と時間をそれぞれ足すと (計算省略) 距離の和：100(1-1/(2^n))[m] 時間の和：T(1-1/(2^n))[m] nがどんどん大きくなると距離は100[m]に近づいていきます．時間はT[s]に近づいていきます． 1から1/(2^n)を引いたものを掛けているのでいつまでたっても100[m]になりませんが，時間もT[s]になりません．ちなみに lim　(1-1/(2^n))=1 n→∞ なので，数学的にはnを無限大にすると距離が100[m]になって，時間もT[s]になって到着するんですけどね．

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距離を無限に分割するなら時間も分割する必要あり

しんのすけ

2006年10月12日 22:23

「ゼノンのパラドックス」で検索をすると出てくると思います。ポイントは長さをどんどん分けていくに従い、その長さを通過するのにかかる時間もどんどん短くなっていくということです (説明はしょり過ぎました)。あと横ですが、「アキレスと亀」ですね。

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おもしろいですよね

亀々

2006年10月13日 03:12

　この手のパラドックス（？）は面白いですよね。「アキレスと亀」を考えると、夜も眠れなくなります。　詳しい書き込みが出るでしょうが、「無限分割」。距離や時間は無限分割できない、ゆえにアキレスは亀に追い付くわけですが。　なぜ距離もしくは時間（あるいは両方）は無限分割できなんでしょう。この世はアナログ（連続）ではなくデジタル（不連続）ということか！？　この次元に存在するものは、量子論でいうところの「波」の一状態にすぎないのか！？　なーんて書きましたが、小生数学も物理学もからっきしダメな口です。

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もっと素直に

ストレートおやじ

2006年10月13日 11:42

これは有名な話ですよね。みなさん難しい説明をされているようなので、私はもっと簡単に書かせていただきます。 >Ａ君はゴールするまでに半分の５０ｍを通過します。次はその半分の２５ｍ、そのまた半分の１２，５・・・と半分区切りで考えてゆくと、どこまでいってもＡ君はゴールにたどり着けません。なぜ？？ならば私も問いましょう。半分の５０ｍを通過できるのはなぜ？

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速度一定とは書いてない

なんじゃもんじゃ

2006年10月14日 20:52

まず100ｍの半分まで。次に残りの半分まで。その次にそのまた残りの半分まで。・・・これでは百年たってもゴールできません。 A君がゴールしたくない（トピ主がA君をゴールさせたくない）からです。

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私も知りたい。

TAC

2006年10月15日 01:26

ゼノンのパラドックスの二分法ですよね。トピ主さんの書き方も影響してアキレウスと亀の問題になっていますがゼノンのパラドックスは一般に 1．アキレウスと亀 2．二分法 3．飛ぶ矢 4．競技場の４つに分類されトピ主さんの聞きたかったのは2．「二分法」だったと思います。でも最初に50m走っちゃうと1．になっちゃうんですよ(追いつく対象が亀かゴールラインかの違い)。 2．の「二分法」とは例えば100m走るとして「100m走るためにはその前に50m走らなければならない。50m走るためには…」と無限に繰り返すことができ、いつまでも走り出せないというものです。この反証によくこの問題を「有限の時間で無限の点を越えるのは不可能」と読み替え「有限の時間にも無限の点がある」と反論しているものを見かけますがこの問題と正面から向き合っていないと思います。パラドックスとは問題提起している本人もそうならないことを知っていて「でもこう考えるとこういう結論になる、どうして？」といっているのだから思考法の誤りを指摘しなければいけないと思う。実際のところ私もよく分かりません。ご存じの方教えてください。

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割り算は∞

max

2006年10月15日 06:50

距離と通過タイムは､発点か到達点をゼロで定義しないとダメです。要するに｢引き算｣しないと定義として成立しません。ズレましたかね(笑）

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計算関係なく単純に考えちゃったら

某主婦

2006年10月17日 13:44

距離をどんどん半分、その半分としていったら、いずれ足のサイズより小さい距離になると思うので、「・・・その半分」て足を出した状態でゴールを踏む（半分でなくすべて踏んでしまう）ことになると思うのですが。（つま先立ちしてもいずれ、半分だけ踏むのは不可能になるのでは？）こんなおバカな発想してしまう私を皆様お許しください。

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なつかしい話です１

さぼてん

2006年10月17日 18:05

去年旦那がパラドックスの問題にはまって、この命題を一週間くらい悩んでいたので、なつかしく思いレスします。円の中心は私もすぐに分かりましたが、「アルキメデスと亀」は私の中ではまだ完全に納得できていません。たくさんさんのおっしゃっている通り有名なパラドックスの命題でいろんな人がHPでそれぞれの自論を繰り広げていますね。いつか唯一無二の結論を導かれる方がいるかと思いますが、私は今のところ唯一無二の結論と思うまでの結論には出会っていません。それぞれの皆さんの自論には納得するところはありますが。ちなみに下記が旦那の自論です。 100mを速度V(m/s)で走ってたとすると、半分の50mまで走るのにかかる時間は(100/2)/V秒、次にそこからさらに半分の25mまで走るのにかかる時間は(100/4)/V秒、さらにその次は(100/8)/V秒・・・・・。結局、永遠に残りの距離の半分を走るのに時間がかかるので、到達できないという考え方。でも、かかる時間を足し算してみると、((100/2)＋(100/4)＋(100/8)＋・・・(100/2^n)）/Vとなり、nがどんどん大きくなっていくと（100/2^n)の部分は無限小（つまり0）に近づいていく。

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なつかしい話です２

さぼてん

2006年10月17日 18:14

結局、有限の時間を無限に区切ろうとしているだけで、考えている実際の時間は永遠ではない。「∞」の概念を入れると簡単に答えが出て、100mの地点に到達する時間をlim(n→∞)((100/2)＋(100/4)＋(100/8)＋・・・(100/2^n)）/V)=Snとすると、ちょっと整理すると、Sn=(100/V)*((1/2^1)＋(1/2^2)＋(1/2^3)＋・・・(1/2^n)）ここで、Snに(1/2)をかけると、Sn/2=(100/V)*((1/2^2)＋(1/2^3)＋(1/2^4)＋・・・(1/2^n)+(1/2^(n+1))）となる。 Sn-Sn/2をすると、左辺はSn/2、右辺は(100/V)*(1/2^1-1/2^(n+1))、よってSn/2=(100/V)*(1/2^1-1/2^(n+1))となる。 n→無限なので、1/2^(n+1)=0 結局、Sn=100/Vとなり、無限に半分の距離を走る時間を足し算すると、100/V秒となる。この結果は、V(m/s)で100m走るのに要する時間と同じで、100m地点に到達できる。つまり、「100/V」秒という有限の時間を無限に区切っているだけのこと。ちなみにVが0（つまり止まっている状態）なら、Snは∞となり、永遠に到達できない。

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なつかしい話です３

さぼてん

2006年10月17日 18:17

私は文系なので、上記の数学式を完全には理解できないのですが、旦那曰く、この命題の問題は、有限であるはずの時間を無限であるかのように思わせている（錯覚させている？）ところなのだそうです。時間の概念が抜けているというわけではなく、時間が無限にあると思わせている。なるほどな、とは思いますが、唯一無二の結論ではないですね（笑）。

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時間ベースとステップ・ベースの移動を混同されているからでは？

ホランド

2006年11月13日 21:42

最終レスから１ヶ月近くたっているようですが、たまたまお見かけしましたので、一言コメントをいたします。トピ主さんは、最初に「１００ｍ走」と時間ベースの移動を問題とされておられます。（移動距離÷移動時間で求められる速度があるものと想定されておられますよね？　この場合、有限時間で到達できます。）しかし、この問題を「ゴールするまでに半分の５０ｍを通過します。次はその半分の２５ｍ、そのまた半分の１２，５・・・と半分区切りで考えてゆく」と同じものとして置き換えられていますが、ここに誤りがあるのだと思います。というのは、後者は時間ベースではなくステップ･ベースの移動だからです。（この場合は、１ステップでゴールまでの半分の距離を移動するということになり、既にレスがあるように無限回のステップがないと到達できません。また時間の概念もありません。）時間ベースとステップ･ベースでは、移動のルールが異なります。この違いに気づかず、時間とステップを混同されたことがそもそもの誤りだったのではないでしょうか。

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