子どもの友達の母親に謝罪したい

小学生の娘がいます。
娘の友達の母親との付き合いについてご相談です。

娘には、近所に住む友達がいて、もともとその子とは相性がよくないのは感じていました。

遊ぶのは遊ぶのですが、その子とはすぐケンカになってしまいます。
擁護するつもりはありませんが、娘が一方的にけしかけているのではなく、ケンカになる原因は、そのときによってどちらからでもあります。

そんな状況の中、その友達の母親から、連絡が入り、娘が友達に対してひどい言葉を発したことが分かりました。

そのお母さんとは、必要があれば連絡をとる程度の関係です。

その母親は怒り心頭でしたし、私もそんな言葉を発した娘が情けなく、私自身にも落ち度があったと心から反省しました。

娘とはしっかりと話をして、私の思いを伝え、これからどうしていくべきかを考えさせて、これからはそんなことは言わないと約束をしました。
娘も泣いて反省していました。

そして、２人で友達の家に謝りに行ったのですが、出てきてはくれませんでした。

メッセージを送ると、来てもらう必要はないと言われたので、直接お詫びしたいところでしたが、長文のメッセージで謝罪しました。

娘も学校で直接友達には謝り、その後の関係も悪くないと聞いています。

しかし、母親からは謝罪のメッセージをずっと既読無視されており、これからどういうアクションをとったらいいのかで悩んでおります。

近所なのでこれ以上関係を悪くしたくないのですが、次に顔を合わせるまで何もしないでもいいのでしょうか？

子どもが悪いことをしてしまったことに対して、親はどのように対処すべきかアドバイスいただけますと幸いです。