ママさんと仲良くなる方法

こんにちは。現在１歳１１ヶ月になる息子がおり、二人目を妊娠中です。
もうすぐ息子が２歳になるというのに、親しくお付き合いできるママがいません。（お互いの家を行き来したり、一緒に出かけたりなど）
仲の良いママ友がいらっしゃる方は、どこでどのように知り合ったり、どのようなきっかけで、お互いの家を行き来したりするようになったのか教えていただきたいと思います。
結婚前と同じ市内に住んでいるのですが、学生時代からの友人はもともと少なく、さらにみんな市外で働いているためほとんど会う機会がありません。
育児の相談をしたり、お互いの家を行き来できるような友人がいたらいいなと思っています。児童館で市が主催しているお遊び会へ行っていますが、そこで知り合ったママさんたちとはメールアドレスを交換したものの、お互いの家が少し離れているため、（徒歩では遠い）月に一度ほど、児童館や市内の大きい公園で一緒に子供を遊ばせる程度です。
近所の公園には息子が１歳半になったころからでかけるようにしていましたが、昨年の秋ごろは体調不良でほとんど行けず、そのまま冬になり天気のいい日に行く程度で、週に２日程度といったところでしょうか。公園で会うママさんが数人いますが、みなさんと会えばお話しする程度です。ある程度グループができているようです。「時間がたてば仲良くなれるのかな」と思いつつも焦ります。
住まいは賃貸マンションで、同じぐらいの男の子がいるお宅があるのですが、すでに他のお宅と家族ぐるみのお付き合いをしているようで、入り込めない気がして、誘うことができません。女の子がいるお宅もあるのですが、「遊び（すきなおもちゃ）が違うし」といったことを考えてしまいます。子供の性別は気にしなくてもいいのでしょうか。毎日憂鬱です。
みなさんの経験などをお聞かせください。よろしくお願いします。