就職活動のタイミングが合わない

はじめまして。悩みを聞いていただきたくトピを立てました。よろしくお願いします。 現在派遣で働く３０歳主婦です。 今の私の派遣先が、来年３月で他事業所と統合・閉鎖となるため、契約終了となります。 私はまだまだ働きたいので、焦って次の就職先を色々探していたところ、運良く正社員の仕事が見つかり、採用となりました。 問題は、ここからなのですが、今の派遣契約は６ヶ月更新で、３月まで契約してしまっており、派遣会社にそれとなく確認した所、 契約途中での退職はやめてほしい、、、、と、いい返事ではありませんでした。 私としては、年明けからでも新しい会社に行きたいと思っていますし、その会社からも、できるだけ早く来て欲しいと言われています。万一、４月にずれようものならば、せっかくの採用が取り消しになってしまうのではないかとも思いとても不安なのです。 そこで質問なのですが、契約途中であっても、次の更新がないのは分かっているのだから、そのような事情を汲んでもらえるものではないのでしょうか。どのような事情があっても、契約期間は守らなければいけないものですか？ とても困っています。