落ち着きのない1歳児！大丈夫？

今月1歳になったばかりの息子のことで相談です。

月齢が近い子と遊ぶ機会が多いのですが、息子が群を抜いて落ち着きがないので不安です。
息子は8ヵ月半から歩き始めました。今では小走りで走り回っています。周りの子は伝い歩き、よちよち歩きの子が多いのでどうしても息子ひとりが動き回っているように見えることも関係しているとは思いますが…。
先日1時～5時まで区の施設（30畳くらいの和室）を借りて遊んだのですが、息子は30分くらい食事をした以外はずっと走り回っていました。
他の子はママのそばでおとなしく遊んだり、歩き回ってもしばらくすると（疲れると？）ママの所に戻ったりしているのに、息子は私が呼んでも振り向かないし近づいてもきません。
私が隠れても探しません。というよりいないのに気づいてもいないようです。
家ではひとりで大人しくおもちゃで遊んだり、私がトイレ等で部屋から出ると泣いたり、ずっと後を付いてきたり、両手を広げてだっこをせがみます。甘えん坊だと思います。
いないいないばぁや手遊びも大好きです。
でも公園やプレイルーム等では親のそばには寄らず、走り回って遊んだり、他の子供のそばに行ったり（赤ちゃんより3～4歳の子の方が好きなようです）、若くて可愛い女の人（大好きです）に近づいて笑いかけたりしています。
手遊びに誘っても無視されます。

1歳児はこんなものだろうと初めは気にしていなかったのですが、他の1歳児を見て不安です。
考えすぎならいいのですが…。
アドバイスお願いします。