再婚した義理両親と同居はあり？

ご覧いただきありがとうございます。
家族構成、私30代前半、夫30代後半、子供幼稚園年中。
同じ市内に住む義母（夫の実母）60代前半と再婚した義母の夫50代前半。


ご相談したいのはタイトル通りなのですが
再婚して、姓（名字）が違うのに同居はあるかとお聞きしたいのです。

義母は夫の実母であり、夫を中学卒業まで育ててくれました。
中学まで育てたというより同居といった方がいいくらいですが。
保育園で学童保育で育ち、高校は寮のある学校を勧められたそうです。

義母の夫は夫が成人してから義母と結婚したので夫との同居期間はありません。

義母は年３、４回ほどしか会いません。
会うときは基本的に義母の都合、例えば、パソコンが壊れたから見て欲しいとか。
子供の誕生日は覚えておらず、数週間して夫が怒りの電話をしてプレゼントを買うために会う程度です。

ちなみに私は義母の誕生日、敬老の日、クリスマスなどにはプレゼントを送っています。
義母は子供が好きでないらしくあっても子供にかまうことなく自分の話題をします。
子供もなついていないし、好きじゃないと言います。

義母の夫は全く会うことが無く、3年前に夫の祖母のお通夜で親戚として会ったことと、
義母が6年前に事故を起こし入院のお見舞いに行った時の２回だけです。
子供は１回しか会ったことが無く当時２才だったので記憶に無いと思います。

まだ、同居の話ははっきり出ていないのですが義母の態度がなんとなくそんな感じがして。

私は名字が変わってるし、義母の夫も若いので介護、同居は無いのではと思っていました。

結婚前に義母の夫とは絶対一緒には住めないと夫には伝えてあります。
夫を育てたわけでもなく、血の繋がりも無いのに嫌だと思っています。

冷たい女でしょうか？