【アルバイトから正社員】よくある悩みですが…

昨年11月からアルバイトで働き、来月３月からは双方の合意の下、正社員でという話を頂いている者です。これ以上「さすらいたくない！」という気持をＨＮに込めました。
どうにも不安です。経験のある方の御意見・御指摘を頂ければと思います。

今のアルバイトは、その直前まで同じくアルバイト雇用だった会社で採用時に約束されていた「社会保険・雇用保険は付けられなくなりました」と言われたことで危機感を覚え、転職先を探していた頃、自分から同業種の会社に問い合わせて見つけました。
その時には、アルバイト期間に私、雇う側が様子を見て、会社の雰囲気に合うようだったら正社員として採用する、と言われました。そのアルバイト期間が今月で終わります。
私としては、自分の経験が活かせる・会社の雰囲気も合う（激務だが社員一同仲が良い！互いの意思疎通がよく計れていて協力している）ところで、是非とも常勤で残りたいのです。この会社で自分が手がけたい仕事もあります。

「アルバイトから社員」のプロセスを、特に中規模企業で果たされた方、またはそのような企業にお勤めの方に伺いたいのですが。
・雇用が継続されるか否か、どの時期で自分から聞くべきでしょうか？
・話の持っていき方は何かあるのでしょうか？
この時期まで経っても話が無いようなら、難しい…私も次が無いなら、探さなければならないので、ご経験のある方にアドバイス頂ければ嬉しいです。お願い致します。