公立教員から私立教員に転職は難しいですか？

公立教員から私立教員に転職は難しいですか？

はじめまして。私は、今年の3月に大学を卒業します。

今まで私学の専任教員（中高の数学）を目指してきました。私学の採用試験と並行して、公立の教員採用試験を受け、公立の採用試験のみ合格しました。

そこで相談なのですが、私学の教員を目指すにあたって、どのような選択が良いでしょうか？是非意見をいただきたいです。

１．公立学校でフルタイムの職員として勤務しながら、私学の専任教員の採用試験を受ける。
（私立から公立学校に移られる先生は聞くのですが、公立から私立の学校に移ることは珍しいのでしょうか？公立で働いていたから、私立で働いていたからという経験の違いは、今後私学の採用試験を受けるにあたって何か影響があるのでしょうか？公立だから不利とか）

２．私学で非常勤をしながら、私学の専任教員を目指す。
（やはり、私学での専任を目指すのであるならば、公立のフルタイムよりも私学で非常勤をしていた方がよいのでしょうか？非常勤から専任になれる可能性や、他の私学の採用試験を受けるにあたっても有利なのでしょうか？）

教員として生涯働くにあたって、やはりフルタイムとして教科指導以外の様々な経験をすることは重要だと考え、今回合格した公立学校で働くことに気持ちは傾いています。しかし、私学の専任教諭になりたいという気持ちも捨て切れません。

私学教員を目指す理由は、中高一貫で長い時間をかけて数学教育行いたいことと、教員の異動がないため卒業生がいつでも帰ってこられる環境に魅力を感じるからです。

公立から私立学校へ転職された経験がある方、または、私立の専任教諭をされている方にアドバイスいただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。