確率の問題　学校のクラス役員選びで…

レス18

（トピ主 2 ）

☁

数学苦手だった女

2010年04月07日 14:43

話題

先日、学校のクラス役員を決める集まりがありました。
４０人弱の保護者のうち半数程度が欠席する中で、出席者が順番にくじを引きました。
７人の役員のうちの４人が決まり、司会者が欠席者の分のくじを引いて、残りの役員を
決めることになりました。
そこでくじが保護者の人数よりも多かったことが判明。（役員経験者は免除されるのに、
その人数のくじが入っていた。）
もう一度、くじ引きをやり直すことになりました。
その時に、決まっていた４人のうちの１人がやり直すなら、降りたいと言って３人になり
残りの４人をもう一度くじ引きで決めなおすことになりました。
くじ引きの前に保護者の１人が、出席者のみが２回くじ引きをするのは不公平だから
欠席者の分を先にした方がいいと言ったのですが、司会者は確率的には一緒だからと言い
もう一度くじを引きました。
結局、その場では２人が決まり、残りは欠席者から決まりました。

役員決めにはまったく意義がないのですが、確率は一緒だからという言葉がちょっと
気にかかっています。本当に一緒だったんでしょうか？
確率の問題が得意だった方。教えてください。

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司会者が正しい

さくら

2010年04月07日 18:18

くじ引きはどんな順番でひいても当たる確率は同じです。話を簡単にしましょう。例えば、A、B、Cの三人が居て、役員決めで一人が当たるくじをこの順番でひくとします。 Aが当たる確率：簡単ですね、1/3です。 Bが当たる確率：Aがハズレを引き（確率2/3)、その後に自分が当たりを引く（残り2つのうち一つの当たりだから、1/2)のですから、2/3×1/2＝1/3となります。 Cが当たる確率：Aがハズレを引いて（2/3)、さらにBもハズレを引く（残り2つのうちハズレの方を引くから、1/2)のですから、やはり2/3×1/2＝1/3となります。ね？みんな同じ確率でしょ。これが何人に増えても、同じようなパターンの計算が延々と続くだけで、だれの当たる確率も、「全ての人数分の1」になるんです。当たりの数が増えても一人当たりの当たる確率は変わりません。だから、その場にいようがいまいが、当たるときは当たるし、当たらないときは当たらないのです。

トピ内ID：6013951985

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くじを引く順番で当たる確率は変わらない

ssss

2010年04月07日 18:18

＞出席者のみが２回くじ引きをするのは不公平だからこれがまず違います、結局欠席者の2回目分のくじ引きも実施されているので出席者も欠席者も2回づつくじを引いています。また、仮に2回目の出席者のくじですべての役員が決まり欠席者のくじが実施されなかったとしても不公平ではありません。＞欠席者の分を先にした方がいいと言ったのですが問題の本質はここです。要するにくじを引く順番によって当たる確率は変わるかということです。結論は「変わりません」たとえば10本中1本があたりのくじを10人がひく場合を考えると、当然1人目が当たる確率は1/10です。　では2人目は？ 2人目が当たるにはまず一人目が外れなければなりません。　その確率が9/10です。　2人目がひく時点でくじの本数は9本なので当る確率は1/9 なので、2人目が当たる確率は上記2つの確率の積で1/10になります。同様の計算で１～10番目すべての確率は一緒です。

トピ内ID：5822449165

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くじを引く前は当たる確率は皆一緒

マテマテケ

2010年04月07日 18:18

　高校の数学の範囲ですが、表題のようにくじが当たる確率は引く順番にはよりません。　例えば、３本中当たりが１本のくじを、Ａ、Ｂ、Ｃの３人がこの順に引くとき、Ａが当たる確率は３本の中から１本の当たりを引くので、１／３です。　また、Ｂが当たるのは、Ａが３本中の２本のはずれから１本引いてはずれ、Ｂがのこりの２本の中から１本の当たりを引く場合なので、Ｂが当たる確率は２／３×１／２で１／３です。　また、Ｃが当たるのは、ＡもＢもはずれる場合で、同様にして２／３×１／２で１／３です。　ただし、これはあくまで、まだ誰もくじを引いていない場合に、さあ誰から引くか、というときの話であって、一旦くじを引き始めると、前の人が当たったかはずれたかによって状況がどんどん変化して行きます。　

トピ内ID：2359588401

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確率的には一緒

chacha

2010年04月07日 19:21

確率的には一緒ですが、気持ちとしては違います。当たりくじ(はずれくじ？)の数が変わったのなら、それまでに当選した人すべてを降ろして最初からやり直してほしいものです。ですが、当選した人の方が少ないわけで、その意見は通らないでしょうね。少なくとも３本は当たりが減っているわけですから。

トピ内ID：1121476747

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補足　考え方

chacha

2010年04月07日 19:21

保護者数が３５、役員数が７としたとき、役員になる確率は７÷３５＝０．２です。くじを引く順番によっては当選が出尽くすこともありますが、逆に外れが出尽くすこともありますので、順番による差はありません。

トピ内ID：1121476747

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数学だけじゃなく国語も苦手？

みと

2010年04月07日 19:21

なにをやったんだかさっぱりわかりません。方法も変ですね。40人いて7人の役員を決めるんなら、 40枚の紙に一人一人の名前を書いてシャッフル ↓ その中から紙を7枚引く ↓ 名前の書かれている人が役員でいいのでは？　これなら出席者も欠席者も関係ないし。

トピ内ID：4951795836

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「やり直し」が完全でなかったのかもしれません

🙂

大学生

2010年04月07日 19:21

「やり直す」とは、全てをイチからリセットすることを言うのだと思いますが、すでに決定していた4名のうち1名が降りることができたように、 1回目のくじ引き結果は強制力を持っていなかったのですよね。そうなのであれば、「出席者のみが2回くじ引きをするのは不公平」という発言は正しくないと思います。最初のくじ引きは“なかったことにした”わけですので。（完全に平等な選び方をするのであれば、4名とも、決定しなかったことにすればよいのです）その他、出席者と欠席者で条件が平等なのであれば、面倒な計算などするまでもなく、どなたが選出される確率も一緒だ、ということになるのではないでしょうか。

トピ内ID：4287490359

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確率の問題以前に

おいらぁ

2010年04月07日 19:21

最初の前提では、（合計が７人で人数比で？）出席者の中から４人、欠席者の中から３人選ぶようなルールになっているようですが（このルール自体は、抽選の結果が欠席者に偏った時に欠席裁判をしたような印象が無くなる為、良いかも知れません）最初のルールが適用されて出席者から常に４人、欠席者から３人であれば、何回抽選しても確率は同じでしょう。しかし、途中で辞退が可能だったり、結果は、出席者から５人、欠席者から２人の選出になっていて、確率の問題以前に、前提条件が良くわかりません。

トピ内ID：3881584192

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状況が良くわからない

🐷

schwein

2010年04月07日 20:16

タイトル通りです。もう少しわかりやすく書いていただけないでしょうか？以下、想像で書きます。(数字は適当な数字です。) 保護者の総数は40人とします。 20人欠席、20人出席で7人役員を決める。 (A)過去に役員の経験がある10人は本来くじは免除であるが、 1回目のくじで40人分くじを用意してしまった。 (B)出席者20人のくじが終わった時点で4人が決定。 (A)に気がつきやり直すこととした。 (B)の4人のうち1人だけ棄権？？3人はそのまま残りの4人を決定するため、30人分のくじを引きなおした。これだと、1回目の結果が一部有効になっているので、欠席者、出席者のどちらからくじを引くかには関係なく 2回くじを引くことになる「出席者」は役員になる確率が高くなっています。 (欠席者、出席者のくじを引く順序は確率に関係ないのでそこは正しいけど) 1回目のくじ引きを完全に無効にして7人全員を決めなおすべきだったのではないでしょうか？

トピ内ID：8169755253

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一緒じゃないです

2010年04月07日 20:16

頭悪い私でも一緒でないと分かります！一緒にするには４人決まった役員を全員降りさせてやり直すか、または１回目のくじで欠席者の分も引き続き引くべきだったと思います。司会者はもしかして、この状況で欠席者が先に引いても後でも、これから始めるくじの確率は同じという意味だったのかなあと思います。

トピ内ID：3369716863

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どちらを先にしても

確率

2010年04月07日 21:55

ご質問の答えは『当りをひく確率は全く同じです』しかし『出席者と欠席者の当りを引く確率は同じか』と聞かれれば『同じ、または約２倍の格差があったかも知れない』です。一回目のくじ引きで３人が引き受けた経緯をどう捉えるかにかかっていますが。辞退は認めていることから３人を立候補と等しく捉え、一回目のくじ引きは無かったこととして考えた。→それなら公平です。ところがトピ文から察するに、当たった４人をそのまま決定にしようとしたのではないですか？そうであれば、出席者と欠席者で約２倍の著しい不公平が生じます。この場合、提案のように先に欠席者のくじ引きをしても意味はありません。確率は同じだから。解決策は "そのまま外れくじの本数調整をしないで" 一回目を一巡させて、決まらなかった席だけ二回戦をやれば公平だったんですよ。中途半端な処理をしてしまいましたね。

トピ内ID：3461732448

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とりあえず

🐤

あげあし鳥

2010年04月07日 21:55

「一緒だったら欠席の人からでいいじゃない♪」と言えばよかった。

トピ内ID：7332769672

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その「一緒」以前に

☁

ゆず

2010年04月08日 11:35

ぐちゃぐちゃになってますけど。最初のくじ引きと、あとの免除者を除いたくじ引きでは当たる確率は変っています。本来は最初に当たった4人を無効として全部やりなおすべきでした。ただ、そのおかしな状況の >くじ引きの前に保護者の１人が、出席者のみが２回くじ引きをするのは不公平だから >欠席者の分を先にした方がいいと言ったのですが、司会者は確率的には一緒だからと言い >もう一度くじを引きました。この部分だけで言えば、当たる確率は同じです。

トピ内ID：8737816432

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説明が下手ですみません。

数学苦手だった女トピ主

2010年04月08日 12:07

理解できなかった方が多いようなので、補足させていただきます。まず、１回目に出席者が引いた後に、欠席者の分のくじ引きはしていません。その直前に数の間違いが分かった為です。その時点では４人が決まっていましたが、３人はやりますと言い、１人は断りました。２回目のくじ引きが行われることになり、『出席者のみ２回…』発言はこの後だったと思います。

トピ内ID：6921656955

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確率さんのレスが一番適切だと思います。

傍観者

2010年04月08日 15:45

こういうトピは、「どのレスが一番わかりやすく正しく説明しているか」を読むのが楽しいですね。何人かが正解を述べていらっしゃいますが、私は確率さんのレスが一番良いと思いました。くじ引きの順序のみに言及した方は惜しかったですね。トピ主さんはこういうレアケースにおける確率を知りたかったんですよね？正解を教えもせず、「こういうくじにすればよかった」という回答はトピずれだと思います。

トピ内ID：9947333360

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変わらない

ｓｓ

2010年04月08日 16:11

＞確率は一緒だからという言葉がちょっと質問は、二回目のくじ引きの時に欠席者が先でも後でも、二回目のくじ引きの当たる確率は二回目のくじを引いた人の中で変わらないか、ということですね？変わりません。質問には関係ないですが、他の方のReにもあるように一回目と二回目では、当たる確立は違います、あたり数、母数ともに違いますから。役員免除者が７人、母数40ぐらいなら、二回目の方が低いです。最初に選ばれた3人がOKならくじ引きに問題ないでしょう。

トピ内ID：6659257552

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愚かな出席者

💡

ガウスの弟子

2010年04月08日 16:59

保護者は３８人とします。出席者は２０人、欠席者は１８人とします。役員経験者は前年の人として７人とします。役員は出席者から何人と決めてなかった（アトランダム）とします。１回目のくじで当選した３人は決定で拒否した１人はくじ引きもしないとします。そうすると２回目のくじでは決まっていない人が２７人いて、出席者も欠席者も２７分の４の確率（当選確率１５％）で役員になります。これはどう引いても同じです。ただ出席者は１回目に３８分の７の確率のくじを引いています。２回目を上の条件で引けば、２回とも外れる確率は７０％ぐらいになります。１回目か２回目で当選する確率が３０％になるということです。欠席者は２回目のみのくじですから当選確率は１５％ぐらいですから、実質は２回目を引いた出席者は欠席者の２倍の確率で役員になることになります。なお最初に当たった人（３人）は当選確率が１８％ぐらいです。ですので２回目のくじで当選した出席者が一番損をしました。（役員が嫌として。）２回目は明らかに１回目で当たらなかった出席者が損なくじです。出席者は２回目のやり方を拒否すべきでした。

トピ内ID：9238789063

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ありがとうございます。

数学苦手だった女トピ主

2010年04月12日 18:25

やはり、司会者の勘違いだったようですね。 >「欠席者の分を先にした方がいい…」という発言の意味がうまく伝わっていなかったようです。役員決めの会というのは、結構緊迫感のある会で、出席者は皆さん静か～に目立たないようにしていました。私のように？？？と思っても、黙っていた方もいたように思います。来年もきちんと出席すべきなのか、ちょっと考えてしまう会でした。分かりやすい説明をしてくださって、ありがとうございました。

トピ内ID：6921656955

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