隣人との付き合い方・無視される

　８４歳の父、８３歳の母と、４８歳の私で３人暮らしです。
　父は認知症で、母は２カ月前に脳炎で痙攣を起こし入院しました。介護保険を申請したり、入院のお願いに回ったりと、いろいろと忙しくしています。
　私は母が入院して父が一人暮らしになったのを機に実家に越してきました。母からは「お隣さんは、ちょっと、くせのある人だから、当たり障りのないようにしてね」と念を押されていました。
　先日、家の前を掃除していたところ、うちの落ち葉がお隣さんの家に前の道路にも散乱していたので掃き集めていたところ、お隣の奥さんが「まあ、隣の家の前まで、わざわざ、ご苦労さま」と声をかけてきました。そして「あ、そうそう、おたく忙ししそうだから、ゴミ置き場のお掃除当番、私の判断で勝手に飛ばしておきましたからね」とおっしゃいます。「回覧板をごらんになっても、しかたないでしょうから、順番から抜いておくように言っておきましたから」とも。確かに、やらずに済めば楽なのですが、お隣さんと井戸端会議をするヒマがあるのに、ゴミ当番や回覧板の閲覧はしませんでは肩身が狭いです。
　回してくださいとお願いはしたのですが「だって、毎日病院通いや、お父さんのお世話で大変じゃないの。いいのよ、いいのよ」と言われれば、「助かります。ありがとうございます」と引き下がるしかなく、とても困っています。
　お隣さんは、単なる町内会でご一緒というだけで、会長さんというわけでも、ゴミ置き場の責任者というわけでもありません。
　なんで、うちにゴミ当番を回すかどうかを、お隣さんが決めるのかわからないのですが、正面切って「回してください」と言っているのにかわされては、どうすればいいのかわかりません。
　ちゃんと当番をさせてもらうには、どう対応すればいいと思いますか？