電話対応の極意、伝授して下さい！

40代女性で、事務系の仕事をしております。
今の会社に入って数週間、電話対応に苦慮しており皆様に教えていただけたら、と思っています。
と言いますのは、前職でも事務をしておりましたが、
顧客からの電話ばかりで、会社名なども覚えられたし、
電話の内容も決まったことが多く、電話対応がスムーズでした。

でも今の会社は一般客からの問い合わせが多く、
内容も多種多様です。(会社の業種は伏せさせて下さい)
また、慣れないためか取引先の会社の名前も聞き取れず、
相手に失礼とは思いますが、間違った会社名などを担当に伝えるわけにはいかないので、聞き返すことも多いです。

また、私は字が下手なので一旦メモ帳に相手の会社名・担当者名・要件などを書き、
(電話対応しながらなので殴り書きになってしまいます）
それを清書して担当者に渡していますが
時間のロスなので、どうにかしたいと思っています。

私宛の電話は100％無く、同僚や上司に繋ぐだけですが、
私がメモしたものを読みながら用件を同僚などに伝えていると、
「その書いたメモちょうだい」と言われるのですが、殴り書きを見せるのは恥ずかしいのと、
他人には読めない字で書いてしまっているので渡せません。
電話対応中に最初から綺麗な字で書ける人が羨ましいです。

皆さんの電話対応の極意を教えて下さい！
また最初から綺麗に書けるコツも教えて下さい！

私はゆっくり書かないと相手が読める字が書けません。

早く顧客を覚え電話の内容を把握できるようにもなりたいです。