正職員のアルバイトについて

現在、正社員として勤務しています。
勤務するにあたってとくに承諾書などにサインをしたことはないですし、
個人経営主で、勤務規定なども見せられていませんが、
口頭にてアルバイトはあまり認められないとのことでした。

その上で質問がありますので、ご存じの方がいらっしゃいましたらご教示ください。
スキルアップのために週1日だけアルバイトをする予定です。
この場合、今年度の年末調整は勤務先で行いますが、
アルバイト分は自分で確定申告することになると思います。
日数が少ないので、税金等にそれ程関与しない金額だとは思うのですが、
そもそも所得総額が増えますし、税金が増える場合には、
翌年4月か5月に勤務先にアルバイトの事実が発覚するであろうと思われます。
ここまでは、ネット上で調べてわかりました。

問題はこのあとで、この時、勤務先にアルバイト先の名称はわかるのでしょうか？
実は、諸事情からアルバイト先の名称さえバレなければ問題ないので、気になっています。
わかる方がいらっしゃったら、ご回答よろしくお願いいたします。

また、今回のアルバイトは転職も頭に入れており、
上手く行けば来年度にはアルバイト先に正社員で勤務できるかもしれません。
（アルバイトしながら判断していただくお話になっています）
その場合、今の勤務先にアルバイトしていたかどうか、わかるのでしょうか？
こちらも併せて教えて頂けますと、幸いです。