昨日、初出勤でした・・・タイムカードや契約書類無しで不安です

いつも、こちらで参考にさせていただいています。

先般、面接しまして、離職から６ヶ月、めでたくパート採用して頂きました。
大手冠婚葬祭の会社の系列のケータリング会社です。
面接時に「採用の際はプライベートマークを取得している会社なので、保証人の印鑑証明を頂きたい」と言われました。
その場は了解し、面接終了後、パート採用でも保証人の印鑑証明を取らなきゃならないのか？とパソコンで検索したところ、そういう会社もあるという情報を得て、安心していました。
２日後、採用のご連絡を頂いた際も、面接していただいた方から、「保証人の印鑑証明をよろしく」といわれたので、すぐに保証人になってもらう主人の印鑑証明を取りに行きました。
その後は、制服を取りに行くなど、事務所に行くことがありましたが、保証人の印鑑証明を提出するどころか、タイムカードなど本社からまだきていないという始末。
そして採用決定日から１０日後の昨日、初出勤を向え、4時間ほど働いてきました。
タイムカードはまだ届かないので、届くまでメモっておいて・・・とのこと。
働いた証拠を残したいので、やんわり「タイムカードが届くまで、証明の変わりに、メモにでも働いた時間を記入し、印鑑など頂いたほうがいいですか？」
と聞いたら、「mizuさんを信じていますから、申し訳ないけどタイムカードが来たら、今までのを記入して」と言われました。
印鑑証明も発行しましたが、提出は？
と伺っても、「月末には」と言われる始末。

こんなものでしょうか？
また3日後、仕事が入っていますが、行っても良いものでしょうか？