海外企業への勤務を続けながら、日本で生活する方法

お世話になります。 [背景] 2年と2ヶ月前からシンガポールの日系企業で現地採用で働いています。 先週、バセドー病になっていることがわかり、治療のため来年の1月で帰国することになりました。 後任を雇う期間があまりに短すぎるため、会社からは「後任が独り立ちするまでは日本で在宅でい いので働いてくれ」といわれており、現在、その方法を会社と模索中です。 [現状・今後の予定] ・シンガポールへ経つ前に区役所に「海外転出届」を提出しており、住民票は除籍されている ・シンガポールのビザは更新されたばかりで、1年10ヶ月近く残っている ・シンガポールの銀行口座はしばらく維持する予定 ・日本の保険はない(現会社の保険を引き続き使用した場合、シンガポール国内しかカバーされない) ・治療のために帰国するため、日本ではなるべく早く保険に入り、専門医にみてもらいたい ・来年の4月に入籍予定で、相手も来年の1月に日本に帰国するため2人とも物理的には日本にいる [現在考えている案] ・ビザの有効期間が十分に残っているので、長期日本出張扱いにする 　(1月末で家を解約すること、携帯代などが懸念) ・日本で会社を作って、外注扱いにする 　(税金関係がよくわからない) ・日本の子会社へ出向することにする このような事例の有識者の方、もしくは似たような状況を経験した事のある方、 「こういう方法があるよ」とかあれば、ぜひ教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いします。