転職先の日程重複

A施設で中途採用の就職が内定し、今月中旬に入社する意思を伝えました。50代半ばになり、最後の正社員就職と思っています。
内定以前に、こんな良い条件なら競争相手が多く、ダメ元と思っているＢ施設に履歴書を送っておりました所、面接をして頂ける電話がきました。何とＡ施設入職日と同じ日です。採否の結果は1週間程度で通知との事です。内定を頂いているＡ施設に1日ずらして頂く事は考えておりますが、10日ずらして頂く事は常識的に考えて心証を害しそうです。今離職中ですので。他にも内定者が数名おられ、何の問題もなく、既に働き始めている人もいるとの事で、結論としては、ずらした1日にＢ施設の面接を受け、運よく受かったら1週間でA施設を辞めるしかないと思っておりますがどう思われますか？なおかつ、Ｂ施設には雇用保険受給資格者票にＡ施設の名前が入ってしまう事を面接の段階で話しておかなければならないですよね？でなければ経歴詐称ですよね？それとも話さなくて良いでしょうか？Ｂ施設からすればそんなややこしい事に首を突っ込みたくないでしょうし、20代30代40代の若い人も応募している様ですので落とされる可能性が高い様に感じています。でも、詳しくは書けませんがＡ施設には決定的に譲り難い部分があり、Ｂ施設はそれを満たしているのです。正社員採用は今回が最後位の年齢でもあり、Ａ施設を断ると大変な事になる事も十分承知です。しかし後10年働くので、後悔したくないのです。落ちたら落ちたで良いのです。しかし後悔の残る人生を送りたくないのです。しかしＡ施設に正直な話をしてはいけないと思っています。皆さんならどう立ち振る舞われますか？真剣な悩みです。何卒よろしくお願いします。