再婚したときの子どもの保険証について

先月再婚しました。
私、夫共に正社員で働いています。
私には連れ子がいて、私の会社の保険に入れているのですが、収入が多い方にきりかえなければいけないとこのとで、夫の会社の保険に入れなければいけないとこのとですが、絶対にそうしなければいけませんか？
夫とは再婚していますが、金銭面では子どもの費用などは何ももらってません。
私の扶養から外すと、扶養手当もなくなり、夫に扶養手当が入ると思いますが、それ以外で給料面でかわってくることはありますか？
扶養控除？というのも、よくわからないのですが、とにかく、夫の手元に入るお金が増えても、私にはいっさい渡ってこないので困ってます。
一緒に住んでいるなら、生計は同一とみなされるので、別生計にしている、証明？を提出すればいいとのことですが、それを証明するものは何かと聞いても、何かありますね？と言われるだけです。
どうしたものかと思ってます…