契約不履行で訴えられますか？

契約社員として働いてます。
丁度この6月末までまた更新となりました。会社側から更新しますと書名で通知されサインしました。
しかしまだ正式な契約書は届いておらず
サインも捺印もしておりません。
実は就活をしており最近採用が決まりました。新しい会社も早く来てほしいと言われましたので確か？退職は２週間前に申告となってたから善は急げと責任者に退職の意思を伝え２週間後退職したいと伝えました。
しかし責任者からは契約書には３０日前になってるから退職は難しいと言われました。
私の完全なる確認不足でした。
責任者が何故？退職の日付を伸ばせない？理由は？退職するなら契約不履行にあたると言い出し
仕方なく次に就職が決まっていると話しました。
事情を話すと責任者も仕方ないと言った感じでした 。
最後は契約更新後すぐの退職だから
色々と手続きが面倒。総務とどうするか？相談するが指示に従ってくれますか ？と言われたので私の確認不足が招いたことなので任せますと答えました。
この場合契約不履行で訴えられるとか
残り働いた分お給料無しとか(違約金みたいな形）あり得ますか？