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数式を教えてください！

レス25
（トピ主 1 ）
🐤
あおい
話題
武器Ａと武器Ｂがあります。

Ａは一度に450のダメージを与えられます。

Ｂは250のダメージを与えますが、2回目の攻撃から50ずつ与えるダメージが加算されます。

ですので、1回目は250、2回目は300、3回目は350・・・になります。

合計のダメージを武器Ｂが武器Ａを越えるのは何回目か？という問題です。

何回目をＸとして250＋50（Ｘ－1）＞450Ｘなのかな・・・と考えたのですが

50ずつ増えるのでこれでは解けません・・・

地道に計算するとＡ，Ｂともに、9回目で合計ダメージ4050になるのですが

答え９！ってでてくる数式ってありますか？

わかる方がいらしたら、教えてほしいです

トピ内ID：1428885625

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kotae

☂
Volunteer
（250＋25（Ｘ－1））X＞450Ｘ です。

トピ内ID：4393462183

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等差数列の和を用います。

041
元塾関係者
数列をある程度一般化して習うのは高校数学ですが、 等差数列に関しては中学受験の受験算数でも習います。 公式を教えても良いのですが、小学生向きの図形化した考え方を教えましょう。 （実際これは、高校数学の積分なのですが、台形の面積として考えられます） 縦に回数、横をダメージ量とすると ３回攻撃した場合、 ●●● ●●●● ●●●●●　のような形になります。 上底が１回目のダメージ、下底が３回目のダメージ、高さが攻撃回数です。 初回は250、３回目は350で3回攻撃ですから、(250+350)＊3/2=900がダメージ総量。 ではx回目で考えると、初回が250、x回目は250+50(x-1)となります。 よって、x回でのダメージ総量は{250+250+50(x-1)}*x/2となる。 作られる式は{250+250+50(x-1)}*x/2>450x、整理するとx(x-9)>0という二次不等式になる 数学的には邪道ですが、算数的に言えばxが正の値であることが自明なので この形の式に限れば両辺を正の数xでわって、x-9>0として考えても良いでしょうね。 x>9から10回目が得られます。

トピ内ID：7806617257

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等差数列の和だ！

🙂
不屈闘志
武器Aの破壊力のn回までの和は、 トピ主の言うとおり、450n・・・（Sa式とする）で表すことができる。 対する武器Bの破壊力は、 初項250、等差50のn回までの和で表す事が出来る。 等差数列の和の公式から n/2×(2×250＋(n-1)50)・・・（Sb式とする）だ。 Sa<Sb　の不等式を解けばよいのだ。n>9が得られる。 数字の事は聞かないでくれ、じんましんが出て来る。

トピ内ID：8661691248

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等差数列の和

🙂
MMMM
X=1ではY=0、X-2ではY=1、X=3ではY=1+2、X=4ではY=1+2+3 となるようなYを等差数列と言います。ここでは差は1です。 この解はY=X*(X-1)/2です。差が50であればこの50倍ですから 等差数列の部分の和は25*X*(X-1)となります。 従って全体では250*X+25*X*(X-1)がX回攻撃後に Bの与えたダメージの合計となります。 一方Aの与えるダメージは450*Xですので、 450*X=250*X+25*X*(X-1)となる攻撃回数Xは 450=250+25*X-25より25*X=225となり、 9回目の攻撃で両者のダメージが等しくなります。

トピ内ID：6576502762

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簡単

🙂
…
x-1 ■(250+50k)>450x k=0 これを解くと25x^2+225x>450x 従ってx<0,9<x 題意よりxは正の整数なので答えは10です ちなみに9ではＡとＢは同じ値なので越えてはいませんので間違いです

トピ内ID：1725062841

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数列を使います。

041
otu
１回目のダメージが２５０ ２回目のダメージが３００ ・・・ X回目のダメージが２５０＋５０（X－１） これが蓄積されるわけですからからトピ主さんの不等式では解けません。 これは初項が２５０、公差が５０の等差数列なので Ｘ番目の項は２５０＋５０（Ｘ－１） 蓄積されたダメージ＝初項から第Ｘ項までの和 ＝[項数×（初項＋第Ｘ項）]÷２ となります。 すなわち Ｘ[２５０＋２５０＋５０（Ｘ－１）]／２ となる訳です。 カッコ内をまとめると ＝Ｘ（２５Ｘ＋２２５） となります。 ここで初めて不等式の出番となるわけです。 Ｘ（２５Ｘ＋２２５）＞４５０Ｘ Ｘは０ではないので両辺をＸで割り、整理すると Ｘ＞９ となりＸは整数なので１０回目が正解となります。 （９回目では並ぶだけで越えていません。１０回目が正解だと思います）

トピ内ID：2765146718

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Aの方がダメージの合計になっていません。

🙂
あかい
　あおいさんの式では、Ｂは450ＸとＸ回のダメージを合計しているのに、Ａの方はＸ回目のダメージしか表しておりません。 　正しい式は、 　250Ｘ＋50(1+2+3+…+Ｘ-1)≧450Ｘ です。ここで上のかっこの中は1からＸ－１までの自然数の和なので (Ｘ－１)Ｘ／２となります。 　Ｘ＝９のとき、これは（９－１）・９＝８・９＝３６なので、上の式は 250・9＋50・36＝2250＋1800＝4050となります。 　ただ、問題は「超えるのは」なので、１０回目ですね。 　なお、上の式は2次不等式となり、整理すると 　Ｘ（Ｘ－９）≧０ 　となり、解は、０≧Ｘ、Ｘ≧９となり、問題の趣旨からＸ≧０なのでＸ≧９ 　ですが、「超える」のはＸ＝１０となります。 　

トピ内ID：5024832198

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数列の問題、シグマの公式を習いましたか

🙂
たなべ
提示された数式を利用すると、 ■｛250+50（X-1）｝＞■450 ■（50X+200）＞■450 50ｘ1/2n(n+1)+200n>450n 25n2+225n>450n 25n2-225n>0 25n(n-9)>0　から求めるとと nは10回以上になる nの後ろの2は肩に乗るべき乗数です 数式とみなしてください

トピ内ID：9760854729

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解答（１）

🙂
pen
武器Ｂの１回目からｎ回目の合計値の数式を示します。 武器Ｂのダメージは等差数列になっています。 １回目が２５０で、５０ずつ増えていく。 つまり、２回目は３００＝２５０＋５０、 　　　　３回目は３５０＝２５０＋５０＊２ 　　　　４回目は４００＝２５０＋５０＊３であるので、ここまでの規則性を読み取ると ｎ回目は２５０に５０を（ｎ－１）回足せばよいとわかるため、 ｎ回目のダメージは２５０＋５０（ｎ－１）＝２００＋５０ｎ　となります。 よって１回目からｎ回目までの合計値は （２００＋５０）＋（２００＋５０＊２）＋（２００＋５０＊３）＋・・・＋ （２００＋５０＊ｎ）となります。 そこで２００と５０を分けて考えます。 ２００は全部でｎ回出てくるので、その合計値は２００ｎ ５０は全部で　１＋２＋３＋・・・・＋ｎ回出てきます。 １からｎまでの整数の和は１/２＊ｎ（ｎ＋１）となりますので、 ５０の部分の和は５０＊１/２＊ｎ（ｎ＋１）＝２５ｎ（ｎ＋１）です。 したがって、武器Ｂの合計値は ２００ｎ＋２５ｎ（ｎ＋１）＝２５ｎ＾２＋２２５ｎとなります。

トピ内ID：0773586464

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高校の「数列」の知識を使えば解けますけど答えは１０回目では？

🙂
なんとも
武器Bが与えるダメージは 250,300,350,400・・・・と「初項250、項差50の等差数列」になっています。 等差数列の第１項から第n項までの和の公式はSn=1/2n(初項＋末項)です。 従ってn回目までに武器Bが与えるダメージの合計＝1/2n〔250+{250+50(n-1)}〕 武器Ｂの与えるダメージの合計が武器Aの与えるダメージの合計を超えるときをn回目とすれば 1/2n〔250+{250+50(n-1)}〕>450n これを整理するとn(n-9)>0 これを解くと　n<0又はn>9 nが自然数であることを考慮するとn=10,11,12・・・・となります。 答えは9ではなくて「10回目」だと思います。 ※9回目は武器Bの与えるダメージと武器Aの与えるダメージが「等しい」ときであり、まだ「超えてません」

トピ内ID：7050577017

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解答（２）

🙂
pen
よって、求めるための式は ２５ｎ＾２＋２２５ｎ＞４５０ｎ となります。 つまり２次不等式です。 これを解くと ２５ｎ＾２－２２５ｎ＞０ 両辺を２５で割って　ｎ＾２－９ｎ＞０ ｎをくくりだして　ｎ（ｎ－９）＞０ したがって、　ｎ＜０，９＜ｎ となりますので、 ｎは正の数ですから、９より大きい整数ということで、 合計のダメージが、武器Ｂが武器Ａを初めて超えるのは１０回目ということになります。 （補足） 解答（１）の武器Ｂの和の１からｎの整数の和の求め方です。 １から６までの和を簡単に出す方法 １＋２＋３＋４＋５＋６の順番を逆にして ６＋５＋４＋３＋２＋１として、縦に足すとすべて７になります。 ７は足す整数の個数分できるので６個です。 よって、同じ値を２回ずつ足しているので２で割る必要がありますので １/２＊６＊（６＋１）＝２１と求められます。 この６の部分をｎにすればいいので、１/２＊ｎ＊（ｎ＋１）となるわけです。 わかりにくかったらすみません。 また、＊は掛け算，ｎ＾２はｎの２乗，１/２は２分の１です。

トピ内ID：0773586464

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とりあえずこんなん出ました

♨
撫物語
200x+50((1+x)x/2*x)>450x 計算面倒だったので、初回攻撃を200+50としちゃいました。 あとは1から100まで全部足したらいくつ？ って言う問題の数式を流用しています。

トピ内ID：3369369660

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累積なので、式が違います

🐧
数学好き
Ｘ回目までの累積でＢがＡを超えるので、式は、 250Ｘ＋50■（k－1)＞450Ｘ　　（■はk=1からＸまでの数列の和） これを計算していくと、 250Ｘ＋50Ｘ(Ｘ＋1)/2－50Ｘ＞450Ｘ となり、最終的に、 Ｘ＞9 が得られます。 Ｘは整数で、『Ａのダメージを超える』のですから、答えは10回です。 ９回ではＡとＢが与えたダメージが等しくなります。

トピ内ID：7362508252

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等差数列の問題ですね

🙂
高校理科教師
回数をnで表わします． Bが1回で与えるダメージはn回まで並べると， 　250, 300, 350, ・・・ 200+50n　(最後は 250+50(X-1) と同じことです) つまり等差数列ですね．その合計 Bn は． Bn = (250 + 200+50n)×n/2 = 25nn + 225n です． Aがn回で与えるダメージの総計Anはおっしゃる通り 　An = 450n です．従って， 　25nn + 225n > 450n n > 0 の条件でこれを解くと n > 9 となります． 補足：一定の間隔で増えていく数（等差数列）の合計は 　(最初＋最後)×個数/2 で与えられます．等差数列の和の公式ですが，しらなくても，ちょっと考えれば出てきます． 例： 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 = (3+21) + (6+18) + (9+15) + 12 = 24 x 3 + 24/2 = 24 × 7/2 偶数個の場合は簡単，自分で考えてください． （この方法，数学者の逸話があったような？）

トピ内ID：0429004926

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もっときれいに解ける方があると思うけど

🙂
とりあえずパパっと
４５０ｎ＝＜２５０ｎ＋５０×｛１＋２＋…（ｎ－１）｝ 　　　　＝＜２５０ｎ＋５０×ｎ（ｎ－１）/２ 　　　　＝＜２５０ｎ＋２５ｎ（ｎ－１） ２００ｎ＝＜２５ｎ（ｎ－１） ８ｎ＝＜ｎ（ｎ－１） ８ｎ＝＜ｎ＾２－ｎ ９ｎ＝＜ｎ＾２ ９＝＜ｎ 答、ｎが９以上でＡよりＢが大きくなる

トピ内ID：4992477205

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等差数列の公式を使います

🙂
カピバラ
n回目までのAのダメージの合計は、 　450 n　...　(1) です。 一方Bのダメージの合計は、 初項a、公差d、項数nの等差数列の和が 　(n/2) {2 a + (n - 1) d} となることを用いると、今回の場合、初項250、公差50ですので、 　(n/2) {500 +50 (n - 1)}　...　(2) となります。 (1) = (2)として式を整理すると 　n (n - 9) = 0 となり、 　n = 0, 9 すなわち、AのダメージのとBのダメージの合計が等しくなるのは、0回目と9回目、ということがわかります。

トピ内ID：9367384393

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合計ですからね

041
今回も匿名にて
「合計」であることに注意しましょう。 トピ主さんの不等式では、左辺が1回分なのに、右辺が回数分になっていて、違うものを不等号でつないでいます。 n回目で超えるとすれば、 Aの方は450×n = 450nですが、 Bの方は200 + 50(k - 1) = 50k + 150（ただし、k＝1,2,...,n)の和です。 これはすなわち、初項200, 公差50の等差数列の、初項から第n項までの和ですから、 1/2 × n × (200 + 50n + 150)となり、 25n×n + 175nになります。 50k + 150を1からnまで、シグマで計算する方が早いかもしれません。 この2つを題意のように不等式で結ぶと、 25n×n + 175n > 450n となります。 題意からn > 0で、正の数である25nで割っても不等号の向きはかわりませんから、 n + 7 > 16 となり、n > 9が出てきまして、 「超えるのは？」が問題ですから、10回目、となります。

トピ内ID：3895446878

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単純に５＋４でしょ

🙂
Rena
武器Ａは武器Ｂに対する攻撃力の威力の差に注目します。 一回の攻撃での武器Ａと武器Ｂの威力の差がなくなるのは、 　４５０＝２５０＋５０Ｘ（ｎ－１）…式１ 　　　ｎ＝５ ですから、５回目の攻撃の時、武器Ａと武器Ｂの威力の差は０になります。 1回目から４回目までの攻撃で武器Ａは武器Ｂに対する攻撃力の差の和（＝武器Ａのアドバンテージ）は 　５０Ｘ（４＋３＋２＋１）…式２ です。 6回目から４回分の攻撃での武器Ｂは武器Ａに対する攻撃力の差の和（＝武器Ａのビハインド）は 　５０Ｘ（１＋２＋３＋４）…式３ です。 　式２の計算結果と式３の計算結果が等しいことは自明ですから、式１の答えに更に４回分の攻撃回数を加えた 　Ｘ＝５＋４ 　　＝９ となり、９回目の攻撃で武器Ａの総ダメージ数と武器Ｂの総ダメージ数が等しくなります。 故に、合計のダメージを武器Ｂが武器Ａを越えるのは何回目か？という設問の答えは 　１０回目で武器Ｂが武器Ａを越える となります。

トピ内ID：6156880285

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計算してみました

🙂
遠山
数式が上手く表現できないので（特に■が）もどかしさがあります。 ダメージの積算を行います。 BがX回目に与える攻撃のダメージは 250 + ( X - 1 ) * 50 積算値は総和を示す■が上手く表現できないのですが 250 * X + (X-1) K=1■K * 50 X-1がシグマの上にK=1が下に付きます。 つまり　250 * X + (X-1)*50 + (X-2)*50 ・・・ (2)*50 + 50 = 250 * X + 50 * X * ( X - 1 ) / 2 = 25X^2 + 225X （X回目にBが与えるダメージの積算値） 問題は「合計のダメージを武器Ｂが武器Ａを越えるのは何回目か？」ですので 25X^2 + 225X > 450X → 25X^2 - 225X > 0 → X(25X - 225) > 0 → X(X - 9) > 0 X=0, X=9 で0を通過する双曲線ですから、答えは X < 0, X > 9 Xは当然正の整数ですので 合計のダメージを武器Ｂが武器Ａを越えるのは何回目か？　答え１０回目 となります。

トピ内ID：2880327167

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等差数列

🙂
数列
等差数列の和を使います。初項a, 差がd,n項までの和は、1/2n〔2a+(n-1〕d)です。初項250、差が50で最終項がnですので、、初項からn項までの和は1/2n(50n+450)となります。これが1回ずつの砲撃が450発を越す最低回数ですから、1/2n(50n+450)>450nを解きます。n<o or n>9となります。nは正の整数出ないといけないのでn＝10です。9回目では等しくなりますから同じ回数では9回で良いですが越す時となると10回目です。ちなみに等しくなる場合の式は>の下に＝を加えてください。

トピ内ID：0266066641

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　ダメージが　50，100、150と増えていくので…

041
おばさん
Aが与えるダメージの合計はｎ回目では４５０ｎ Bが与えるダメージは １回目、　２５０＋５０ｘ０ 2回目　　２５０＋５０ｘ１ 3回目　　２５０＋５０ｘ２　 ・ ・ ・ ｎ回目は　　　２５０＋５０（ｎ－１） １回目から、ｎ回目まですべて足すと 　　２５０ｎ＋５０（０＋１＋２＋・・・・ｎー１）となります （０＋１＋２＋・・・・ｎー１）の部分をまとめると （ｎ－１）ｎ／２ となりますからBのダメージのトータルはｎ回目で ２５０ｎ＋５０（ｎー１）ｎ／２です B＞Aになる時点を求めたいので ２５０ｎ＋５０（ｎー１）ｎ／２＞４５０ｎ を解くとｎ＞９　ｎ＜０となります でも、ｎは正の数なのでｎ＞９ のみが答えになります BがAを超えるのは10回目になりますね

トピ内ID：9171400793

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こういう風に計算してみました

🙂
那智黒
何回目、というのをXと書かれていますが、ここではnと書くことにしますね すると、 n ■{250+50(k-1)} k=1 = n ■450 k=1 を満たすnを求めることになります。 n ■ k=1 という記号は、一個目、二個目、三個目、…、k個目、…、n個目までの全部を足し合わせるという意味を表しています。 この、全部を足し合わせる時の公式があって、 n ■1 = n (1がn個あって、それを全部を足し合わせたらnになるという意味です) k=1 n ■k = n(n+1)/2 (1+2+3+…+k+…+n は n(n+1)/2 になるという意味です) k=1 ですので、これを上の式に代入して整理すると 25n^2+225n = 450n となります。n^2はnの2乗と言う意味です。 これを解くと n(n-9) = 0 となり、n = 0,9が求まります。 n = 0では意味がないので、求める解はn = 9となるわけです。 詳しくは、高校数学の数IIB（だと思います多分）の参考書を見るか、あるいは「数列」で検索して下さい。

トピ内ID：2691559423

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等差数列の和

🙂
家庭教師
同じような回答が並ぶと思いますが、トピ主の式は左辺が間違いです。 ダメージの積算値ではなく単に武器BのX回目のダメージになっている。 等差数列およびその和、で調べてください。公式があります。 n回目の武器Aの与えるダメージをDa(n), 1～n回目までのダメージ和をSa(n)とすると Da(n) = 450 Sa(n) = 450n 同様に武器Bについては Db(n) = 250+50(n-1) Sb(n) = (1/2)n(450+50n) A,Bそれぞれのダメージ和について不等式 Sb(n) > Sa(n)を解けば n>9 なる答えが得られます。

トピ内ID：8551575773

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ありがとうございます！

🐤
あおい トピ主
等差数列の和・・・そうなんですね、なるほど もう高校数学が頭からいなくなっていて・・・（涙） 皆様、詳しく教えていただいて、ありがとうございます ずっとモヤモヤしていて・・・ 皆様、見ず知らずなのに、丁寧に教えていただいて、すごくうれしかったです！

トピ内ID：1428885625

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式が違います

🙂
式が間違ってますよ
X{250+(50(X-1))}　＞450X でしょ

トピ内ID：1034468783

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