職場の人達への対応に関する悩み

こんにちは。私は今の職場で責任者に昇進したのですが、人間関係で悩んでおります。前責任者がとても怖い人で、すぐに機嫌が悪くなりみんなが気を使ってました。私もいつもきつく当たられて、とても悔しい思いをするのと同時に自分は偉くなっても絶対にこうはならないと強く心に誓いました。
そこから毎日朝1番に出社し、夜遅くまで働くなどして仕事を全力で頑張ったことで前責任者が異動するのと同時に私が任命されました。
私は今年30になるまだ未熟者ではありますが、責任者として頑張っていこうと思っており、前責任者を反面教師にして誰に対しても優しくするよう努めておりました。が、最近少し違和感のようなものを感じています。
何となく、でも確実に職場の人がみんな嫌な仕事を押し付けてくるようになったと感じます。もちろん責任者には責任者の仕事があるので他の人の割り振られた仕事はする必要がないのですが、みんなが業務中にできなかった(あえてやらなかった？)嫌な仕事だけが回されます。業務量が多く、どうしても出来なかったとかであれば、手伝うのは構いませんが、最初から私に回す前提でやらなかったように思います。当然ですが前責任者の時は絶対にそんな事はありませんでした。
やはり、私は舐められているのでしょうか？
ちなみに面談等したら前責任者はかなり評判が悪く、私がなってくれて良かったとみんな言ってくれます。それは都合がいいということなのでしょうか…？
長くなりましたがこれからどのような姿勢で仕事をしていけばいいのか、アドバイスをいただけたら幸いです。